1.總體（Population）與樣本（Sample）

• 總體是研究對象的整體，通常數目很大，直接對總體進行分析費時費力。因此通過對總體進行抽樣得到可以代表總體的樣本。
• 一般都是采用樣本估計總體的方式，畢竟總體數量太大，將總體可劃分為訓練集，驗證集和測試集。

2.均值(mean)

令總體數為N,樣本數為n，每一個樣本的取值用表示$x_i$，則：

• 總體均值：$\mu =\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{x}_i$
• 樣本均值：$\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$

3.方差(Variance)與標準差（Standard deviation）

方差和標準差描述的是數據的離散程度，也就是遠離中心的程度：

• 總體方差：${\sigma }^2=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{\left(x_i?\mu \right)}^2$
• 樣本方差：$s_n^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i?\overline{x}\right)}^2$

這個公式計算的方差通常會低估總體的方差：當樣本分布與總體分布相近時，計算得到的樣本均值接近總體均值，這時得到的樣本方差也就接近總體方差；但是可能的情況是，采樣得到的樣本與總體偏差較大時（有偏的），由于樣本均值總是分布在樣本點的中心，這時樣本點與樣本均值之間的距離小于與總體均值的距離，計算得到的樣本方差小于總體方差。這是一種更普遍的情況，因此用上式計算得到的方差通常會低估總體方差。

• 無偏的樣本方差：$s^2=\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i?\overline{x}\right)}^2$

將分母改為n-1，相當于以一個大于1的系數修正了有偏的方差。實驗證明，這個公式能更好地估計總體方差。上述情況是在我們不知道總體的均值時，否則就不需要用n-1來保持無偏了。

• 總體標準差：$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{\left(x_i?\mu \right)}^2}$
• 樣本標準差： $s=\sqrt{\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i?\overline{x}\right)}^2}$

4.隨機變量、概率密度函數、期望

• 隨機變量實際上是一種函數，只有在隨機過程中才給它賦值。

• 概率密度函數下方的面積表示的才是概率，是概率密度函數在某一個區間內的積分。任何一個確切的點的概率值為0

• 期望值（Expected value）：對于隨機變量來說，總體數是無窮的，計算總體均值時我們無法將所有的值相加再除以無窮。因此，將每個數值的出現的頻率乘以數值然后對所有數值求和，就得到了期望。期望值實際上等同于總體均值。

5.二項分布

二項分布就是重復n次獨立的伯努利實驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，并且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立實驗中都保持不變，則這一系列試驗總稱為n重伯努利實驗，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布。

用p表示一次實驗中成功的概率，1-p表示一次實驗中失敗的概率，則二項分布n次獨立重復性實驗中，成功的次數k的概率為：

• $P(x=k)=\frac{n!}{k!(n?k)!}{p}^k(1?p{)}^{n?k}$

6.二項分布的期望

$\begin{array}{rl}E(X)& =np\\ E(\mathrm{x})& =\sum _{k=0}^{n}k?\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)?p^k(1?p{)}^{n?k}\\ & =\sum _{k=0}^{n}k?\frac{n!}{k!(n?k)!}?p^k(1?p{)}^{n?k}\\ & =\sum _{k=1}^{n}k?\frac{n(n?1)!}{k(k?1)!(n?k)!}?p?p^{k?1}(1?p{)}^{n?k}\\ & =np\sum _{a=0}^{n?1}\frac{b!}{a(k?1)!(n?k)!}?p?p^{k?1}(1?p{)}^{n?k}\\ & =n{p}^{n?1}\frac{b!}{a!(b?a)!}?p?p^{k?1}(1?p{)}^{n?k}\\ & =np?1\\ & =np\end{array}$

二項分布的方差：$E(X)=np(1?p)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的可汗学院学习总结（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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