前言

單源最短路徑是學習圖論算法的入門級臺階，但剛開始看的時候就蒙了，什么有環沒環，有負權沒負權，下面就來總結一下求單源最短路徑的所有算法以及其適用的情況。

單源最短路徑

設定圖中一個點為源點，求其他所有點到源點的最短路徑。

先聲明一點：有負環的圖中沒有最短路徑

因為負環繞一圈的權值和是負的，只要過一遍環，路徑就減小，可以反復過，無限減小

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1. 無環 無負權 圖求單源最短路徑--拓撲排序

求v到其他所有點的最短路徑

歸納假設

已知v到前面n-1個點的最短路徑

求n

假設每一個點帶一個屬性sp，表示該點到源點的最短路徑長度

設第n個點為z

我們知道所有能到z的點wk，即(wk, z)是圖中的邊

這樣求出來wk.sp + len（wk, z）的最小值

就是z的sp

為什么要拓撲排序？

拓撲排序保證看n的時候，與n連接的前面的所有點都看了

復雜度O(V + E)

偽代碼：

const int MAX = MAX_INT for(all w){w.sp = MAX}init w.indegree DFSw with 0 indegree, enqueuewhile(!queue.empty()){w = dequeue();for(all (w, z)){if(w.sp + len(w, z) < z.sp){z.sp = w.sp + len(w, z);}z.indegree--;if(z.indegree = 0){z.enqueue();}}}

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2. 有環 無負權 圖求單源最短路徑--Dijkstra算法

前面拓撲排序的求所有點的最短路徑只能是無環圖

有環會導致拓撲排序無法終止

沒法用

Dijkstra算法可以解決有環 無負權最短路徑的問題

Dijkstra算法是求源點到其他所有點的最短路徑

定義兩個集合

一個集合是S, 表示已經確定了最短路徑的點

另一堆是剩下的所有點M的集合

Init-每個點的路徑長度設為無窮

每次從剩下的點中取路徑長度最小的加入到S中

開始

只有源點在S中

計算源點所有連接點的路徑長度

取出最小x的加入到S中

并對所有連接x的點更新路徑長度

再挑出最小的

反復

直到所有點都加到S中

解決了

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注意：這里與prim算法有點像

Diljstra算法是不斷從剩下的點中選取路徑最小的加入的S中

prim算法是不斷從剩下的點中選取能到S且邊的權值最小的加入到S中

偽代碼：

const int MAX = MAX_INT; for(all w except v in G){w.sp = MAX;w.mark = false;}v.sp = 0;build a heap for all vetex;while(there exist unmarked vertex){w = heap.pop();??? //w.sp is minimumw.mark = true;for(all (w, z) in G and z is unmarked){if(w.sp + len(w, z) < z.sp){z.sp = w.sp + len(w, z);}}heapsort();}

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build the Heap? // O(VlogV)

最多需要E次更新，每一次更新O(logv)

從而總時間

O((E+V)logV)

問：為什么Dijkstra算法不能求解帶負權的路徑的圖的最短路徑？

答：采用dijkstra算法處理帶有負權邊的圖時有可能出現這樣一種情況：因為dijktra算法每一次將一個節點加入已訪問集合之中，之后不能在更新，

如圖

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算法剛開始執行時，將A添加到集合中標記已訪問，之后選出從A到所有節點中的最短的d，于是把C加入集合中標記已訪問，之后C不能在更新了，而顯然，A與C之間最短路徑權值為0（A-B-C），發生錯誤。

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3. 有環 有負權 圖的單源最短路徑--Floyd算法

可以用于帶負權的圖

Floyd算法

動態規劃

C[i][j] 表示i點到j點的最短距離

小問題可解-所有相鄰的邊的權值已知

大問題分解為小問題

從i到j

兩種途徑

1.圖中有邊連接i與j

2.經過k點到，C[i][j] = C[i][k] + C[k][j]

1 <= k <= N

兩種的最小值就是C[i][j]

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定義矩陣C[N][N]

然后不斷dp

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偽代碼：

const int MAX = MAX_INT;c[N][N]for(i = 1; i <= N; i++){for(j = 0; i <= N; j++){if((i, j) is in G ){c[i][j] = (i, j).weight;}else{c[i][j] = MAX;}}}for(k = 1; k <= N; j++){for(i = 1; i <= N; i++){for(j = 0; j <= N; j++){if(c[i][j] > c[i][k] + c[k][j]){c[i][j] = c[i][k] + c[k][j];}}}}

?復雜度O(n^3)

注意k只能放在最外層的循環

不能放在最里層

若放在最里層

計算第一行eg (1, 10)時

要算(1, 5) (5, 10)

但這時(5, 10)還未知

所以確定的(1, 10)點的最短路徑是不準確 的

k放最外面的循環中

保證計算每次看計算C[i][j]時， C[i][k] + C[k][j]都是已經求過的值

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4. 有環 有負權 圖單源最短路徑算法--SPFA

帶有負權的圖

不能使用Dijkstra算法

floyd算法又復雜度太高

然后西安交通大學acm大牛想出了SPFA

中華少年英才多啊

SPFA

設立一個隊列

d[i]表示源點到i的最短距離

init所有d[i]都為無窮

剛開始源點入隊

x出隊

檢查x連接的所有點d[i]值,如果變小，則跟新

更新了的點y，說明與y連接的點也有可能更新

y入隊

之后不斷反復

因為點數有限，所以必然一定步驟后隊列會為空

這時就求得了所有點的最短路徑

真TMD神奇

檢查每個點連接的所有點，總檢查就是邊數E

每個點可能入隊多次，設平均入隊次數為k

復雜度O(kE)

可以證明k<=2

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Spfa 有兩種實現方法：bfs，dfs

bfs判斷起來較麻煩

得計算所有點入隊的次數

如果一個點入隊超過N次，一定有負環

bfs偽代碼：

const int MAX = MAX_INTspfa_bfs(){suppose root = s;d[N];???? //The min path length of s to ivis[N];????? //1 -- i is in the queuecount[N];???? //The count of i to enqueuefor(i = 1; i <= N; i++){d[N] = MAX;}d[s] = 0;vis[s] = 1;count[s] = 1;enqueue(s);while(!queue.empty()){x = dequeue();vis[s] = 0;for((x, y) is in G){if(d[y] > d[x] + len(x, y)){d[y] = d[x] + len(x, y);vis[y] = 1;count[y]++;if(count[y] >= N){return -1;???? // There is a minus circle}}}}}

?

dfs 偽代碼：

判斷負環較快

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vis[N];????? //1 -- i is checkedint spfa_dfs(point v){vis[v] = 1;for((v, w) is in G){if(d[w] > d[v] + len(v, w)){d[w] = d[v] + len(v, w);if(vis[w] == 0){if(spfa_dfs(w) == -1){return -1;}?????????????????????????????? //-1?? there is a minus circle}else{return -1;}}}vis[v] = 0;}

總結

無環 無負權 圖單源最短路徑--拓撲排序??

有環 無負權 圖單源最短路徑--Dijkstra算法

有環 有負權 圖單源最短路徑--Floyd算法

有環 有負權 圖單源最短路徑--SPFA

這里總結了計算單源最短路徑的四種常見算法，理清楚他們分別適用的情況，以及他們之間的關系便會很好記憶。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论-单源最短路径算法（拓扑，Dijkstra，Floyd，SPFA）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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