磁力可能是保守力吗
正式回答問題之前，先來聊聊場、保守力和保守場的概念。
場（Field）是指某個物理量在空間的分布，這話告訴我們，某個確定的時刻，物理量只與空間坐標(biāo)有關(guān)，不受其他因素影響。
這個物理量可以是標(biāo)量，還可以是矢量。例如溫度的分布就是一種標(biāo)量場。而某些力的空間分布可形成矢量場。
比如說，單位質(zhì)量的物體在不同的地方受到的重力 —— 重力加速度，就是一種空間分布，形成一種場，叫重力場。
再比如電場和磁場，它們都是典型的場。
場導(dǎo)致的作用，也就是常說的力，本身也可以形成場，叫力場。條件很簡單，只要某時刻，空間任一點的力可表示為這樣的矢量函數(shù)就行了。
例如帶確定電荷的粒子所受的電場力在空間的分布就形成一種力場。
但帶電粒子受到的磁力就不是場，因為它們不僅與空間坐標(biāo)有關(guān)，還與粒子的運動速度（大小和方向）有關(guān)，而速度并不一定是空間的函數(shù)。
此外，你很容易想到，像摩擦力、向心力和科里奧利力這些力不可能形成力場，因為它們的大小和方向并不是由空間坐標(biāo)決定的。
那么，什么是保守場呢？
相信大多數(shù)人沒看到過保守場的定義，但大多數(shù)人應(yīng)該知道什么是保守力，所以就先來講保守力吧。
什么是保守力？保守力是指做功與路徑無關(guān)的力，也就是積分只取決于 a 和 b 的坐標(biāo)而與具體的積分路徑無關(guān)的力。
很顯然，如果力本身不是力場，它必定還含有空間之外的變量，這些變量在空間積分后必然保留下來，那結(jié)果無論如何也不會只與始末位置有關(guān)。
由此可見，保守力的前提是，力必須本身是一種力場。
所以，你若問為什么洛倫茲力不是保守力？則回答是：因為它連力場都算不上！要不然的話，你會感到迷惑，畢竟洛倫茲力做功真的與路徑無關(guān) —— 它壓根不做功嘛！
那么，保守力的這個定義的實操性有多高？
單純從定義看，這是一個無法證實的命題，因為你不可能去驗證所有可能的路徑。當(dāng)然，如果你發(fā)現(xiàn)某兩個點之間的不同路徑導(dǎo)致不同的功，那就說明它一定不是保守力。
不過，數(shù)學(xué)還是給我們提供了一種檢驗方法：當(dāng)且僅當(dāng)存在某函數(shù)使力能被表示為的梯度時，就是保守力。
之所以說“某”，不說“某個”，是因為只要存在一個，就存在無數(shù)個，它們之間相差任意常數(shù)。
所以，證明某個力是保守力的問題轉(zhuǎn)化成為尋找一個函數(shù)的問題。
當(dāng)然，我們知道，由“做功與路徑無關(guān)”可得到一條推論：對任意閉合路徑做功為零。但既然存在無數(shù)個閉合路徑，這個推論同樣無法證實。除非你想用它來證明某個力不是保守力。
可能有人說，只要證明某個力的旋度為零，那么就是保守力。
之所以有人這么說，他們瞧準(zhǔn)了這樣一個經(jīng)驗：力的旋度處處為零，那么就等于證明了任何地方，力沿一個無限小的閉合路徑積分為零，那么它們?nèi)考悠饋淼玫降娜我忾]合路徑積分也自然為零！
換句話說，他們認(rèn)為：旋度處處為零，等于證明了任意閉合路徑的積分都為零，那就說明做功真的與路徑無關(guān)，因此力必然是保守力。
是這樣嗎？
不一定！
原因是，無限小的閉合路徑的積分加起來不一定等于一個包圍它們的閉合路徑的積分。
如上圖所示，用陰影部分代表場的分布區(qū)域。
在 L=0 類型的空間中，無數(shù)個微小的環(huán)路積分的和必定等于包圍它們的一個大環(huán)的積分。定義在這種區(qū)域的力，如果旋度為零，那就是保守力。
但對于 L>0 的情形，由于不滿足這一條件，即使力的旋度處處為零，也不一定是保守力。
但反過來，如果是保守力，那么它的力場的旋度必然處處為零，所以旋度處處為零是保守力的必要而非充分條件。
好，講完保守力了，再回頭看保守場。
它的定義完全與保守力類似，即：
積分與路徑無關(guān)的矢量場。
注意限定詞 ——“矢量場”。保守力中未提這一點，因為力本身是矢量。
同理，這個定義也沒有實操性。但同樣的，若能找到某標(biāo)量函數(shù)，使得它的梯度（確切的說是負(fù)梯度）是該矢量場，那就證實它是保守場了。
又同理，證實某個場是非保守場的辦法不少。
既可比較場在兩點間不同路徑的積分，若不同，則為非保守場。
還可檢驗場在某個閉合路徑的積分，若不為零，則為非保守場。
熟悉的例子，靜電場總是負(fù)電勢函數(shù)的梯度，所以它是保守場。
而磁感應(yīng)強(qiáng)度就不是保守場，因為 B 線總是閉合的，只要沿著某條 B 線積分，它肯定不為零。
重點問題來了：保守場與保守力之間有啥關(guān)系呢？
只有保守場才可以導(dǎo)致保守力？非保守場必定導(dǎo)致非保守力？
很多人這么認(rèn)為，但其實不一定。
非保守場也會導(dǎo)致保守力，保守場與保守力之間沒有必然聯(lián)系。
典型的案例是磁矩在磁場中的受力。
在文章“磁力真的能無限做功？它的能量源自何處？”中，采用了一個簡單的方式給出磁矩受力的規(guī)律由于文中是直接從力矩切換到力，可能有人覺得不好理解。畢竟做功的本來是力矩，文中后面直接變?yōu)槿缓髲闹谐槌隽Φ慕Y(jié)果，過程的確有點不太爽滑，但結(jié)果本身沒有問題。
有人質(zhì)疑的理由是：磁矩是一個電流環(huán)，所以本身受力應(yīng)有無數(shù)個，力矩是這些力的總體效果，你現(xiàn)在直接用一個力代替，好像說不通。
看起來好像挺有道理的吧？但其實這是一個誤解，磁矩難道不是一個點嘛！
沒錯，其實磁矩和點電荷模型一樣，同樣是一個點模型，下面就是一個磁矩的場分布情況。既然是點，它受力當(dāng)然是唯一確定的。
實際上，當(dāng)嚴(yán)格計算空間一點的電流密度與磁場的作用力時，也會得到此結(jié)果，只不過過程就復(fù)雜很多。隨便一本電動力學(xué)教材中有關(guān)靜磁場能的部分都有詳細(xì)計算過程。
計算結(jié)果表明，磁矩受力是一個標(biāo)量函數(shù)的梯度，它是保守力。
總之，磁感應(yīng)強(qiáng)度雖然本身不是保守場，但神奇的是，它對磁矩的作用力卻居然是保守力。
再例如，當(dāng)空間中沒有傳導(dǎo)電流時，電場、磁場和磁激化矢量的關(guān)系為
顯然，此時的既然無旋度，實際上它的場線不是閉合的，可以看作一種保守場，磁標(biāo)勢正是基于此提出的。
但對磁感應(yīng)強(qiáng)度來說，它總是閉合的，如上圖所示。顯然，在磁鐵內(nèi)部和外部各處，由于不存在電流密度，故磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度處處為零。但既然它的環(huán)路積分依然存在，說明在磁鐵的表面上存在旋度不為零的點，對應(yīng)一種電流密度，它就是磁化電流。
因為磁感應(yīng)強(qiáng)度總離不開運動的電荷或電流，電流有多種，包括自由電流、磁化電流以及極化電流（一般書上沒講）和位移電流，根據(jù)安培環(huán)路定理，這決定了磁鋼應(yīng)強(qiáng)度必然是閉合曲線，所以它沒有源，其散度永遠(yuǎn)為零。
它也就是麥克斯韋方程組中最簡單的那一個。
對磁場強(qiáng)度來說，它也可通過運動電荷或電流來激發(fā)。其中電流激發(fā)的那部分可分為兩種不同的類型，第一種是自由電流激發(fā)，第二種是其它的電流激發(fā)的。這第二種磁場可等效看作磁荷激發(fā)的，它是一種有源場，當(dāng)然就是保守場了。
因此，當(dāng)沒有自由電流時 —— 例如各種磁介質(zhì)的空間中，磁場強(qiáng)度就類似于靜電場一樣，所用的規(guī)律也完全一樣。只不過由于磁單極子還沒有被發(fā)現(xiàn)，所以這種描述一般只是一種等價的理論處理方式。
講到此處，你現(xiàn)在大概明白了，磁鐵之間的吸引力和排斥力作用，如果從磁場強(qiáng)度的角度來看，它類似一種保守場的作用，它所做的功來源于系統(tǒng)的勢能，而勢能必然是有限的。所以磁力做功必然也是有限的。
所以，你現(xiàn)在大概也明白了，的名字為什么與電場強(qiáng)度類似，也叫做“X 場強(qiáng)度”？除了歷史原因，還因為它倆真就是地位相當(dāng)?shù)奈锢砹俊?/p>
而至于，其實從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來說，它與電場中的電位移矢量的地位相當(dāng)，所以它的名字就沒那么直接了，而是叫做“磁感應(yīng)強(qiáng)度”。
不過，話說回來，從物理本質(zhì)上來說，和才是基本的物理量。具有實際可觀測的物理效應(yīng)。歷史上命名的確存在一定的不合理，但不合理總有原因的，不改過來也是有原因的，存在即是合理嘛！
除和之外，為了數(shù)學(xué)上的方便，人們引入了矢勢和標(biāo)勢來描述電磁場。后來發(fā)現(xiàn)，矢勢和標(biāo)勢具有可觀測的量子效應(yīng)，所以矢勢和標(biāo)勢也成為描述場不可缺少的基本物理量。它們滿足規(guī)范變換，這是基本相互作用中的一條普遍規(guī)律。
本文來自微信公眾號：大學(xué)物理學(xué) （ID：wuliboke），作者：薛德堡
總結(jié)
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