[工學]7計算概論A A02 計算機的基本原理

《計算概論A》課程

計算機的基本原理

李李 戈戈

北京大學 信息科學技術(shù)學院 軟件研究所

2011年9月9 日

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第一次數(shù)學危機

– 現(xiàn)代意義下的數(shù)學來源于公元前現(xiàn)代意義下的數(shù)學來源于公元前500年左年左

右古希臘的畢達哥拉斯學派。他們認為

“萬物皆數(shù)”，“一切數(shù)均可表成整數(shù)或

整數(shù)之比整數(shù)之比””是這是這一學派的數(shù)學信仰學派的數(shù)學信仰.

? “希帕索斯悖論”

– 畢達哥拉斯證明了畢達哥拉斯證明了勾股定理勾股定理，也同時發(fā)現(xiàn)也同時發(fā)現(xiàn)

了某些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來

表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通

約的。

? 危機的緩解：

– 到十九世紀下半葉，實數(shù)理論建立后，無

理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學中合

法地位的確立法地位的確立，才真正徹底才真正徹底、圓滿地解決圓滿地解決

了第一次數(shù)學危機。

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第二次數(shù)學危機

– 十七世紀十七世紀，，牛頓牛頓與與萊布尼茲萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)各自獨立發(fā)現(xiàn)

了微積分，但兩人的理論都建立在無窮小

分析之上，而對基本概念無窮小量的理解

與運用卻是混亂的與運用卻是混亂的。

? “貝克萊悖論”

– 無窮小量在牛頓的理論中無窮小量在牛頓的理論中 “一會兒是零會兒是零，

一會兒又不是零”。貝克萊嘲笑無窮小量

是“已死量的幽靈”。

? 危機的緩解危機的緩解：

– 19世紀末，柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金、

康托爾康托爾各自經(jīng)過獨立的研究各自經(jīng)過獨立的研究，重建微積分重建微積分

學基礎，都將分析基礎歸結(jié)為實數(shù)理論，

數(shù)學分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的

無矛盾性無矛盾性，使微積分學建立在牢固可靠的使微積分學建立在牢固可靠的

基礎之上。

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第三次數(shù)學危機

– 十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名

的集合論。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)

與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)

學大廈。

– 集合論成為現(xiàn)代數(shù)學的基石。“一切

數(shù)學成果可建立在集合論基礎上”.

– 1900年，國際數(shù)學家大會上，法國著

名數(shù)學家名數(shù)學家龐加萊龐加萊就曾興高采烈地宣稱就曾興高采烈地宣稱：：

“…借助集合論概念，我們可以建造

整個數(shù)學大廈…今天，我們可以說絕

對的對的嚴格性已格性 經(jīng)達到達到了…”

圖靈機的由來圖靈機的由來

? “羅素悖論”

– 在塞爾維亞有在塞爾維亞有一位理發(fā)師位理發(fā)師，他宣稱他宣稱：他他

只給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，不給

那些給自己理發(fā)的人理發(fā)。可是當他自

己要理發(fā)時要理發(fā)時，卻陷入了尷尬境地卻陷入了尷尬境地。

– 若他不給自己理發(fā)，根據(jù)他的第一個條

件件，，則應該給自己理發(fā)則應該給自己理發(fā)；；若給自己理發(fā)若給自己理發(fā)，，

根據(jù)他第二個條件，他不該給自己理發(fā)。

總之，無論理不理發(fā)，都違背了自己的 羅 素

諾言諾言。

德國數(shù)學家、邏輯學家弗雷格：

– S由一切不是自身元素的集合所組成。

然后羅素問：S是否屬于S呢？如果S屬

總結(jié)

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