[工學]7計算概論A A02 計算機的基本原理

《計算概論A》課程

計算機的基本原理

李李 戈戈

北京大學 信息科學技術學院 軟件研究所

2011年9月9 日

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第一次數學危機

– 現代意義下的數學來源于公元前現代意義下的數學來源于公元前500年左年左

右古希臘的畢達哥拉斯學派。他們認為

“萬物皆數”，“一切數均可表成整數或

整數之比整數之比””是這是這一學派的數學信仰學派的數學信仰.

? “希帕索斯悖論”

– 畢達哥拉斯證明了畢達哥拉斯證明了勾股定理勾股定理，也同時發現也同時發現

了某些直角三角形的三邊比不能用整數來

表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通

約的。

? 危機的緩解：

– 到十九世紀下半葉，實數理論建立后，無

理數本質被徹底搞清，無理數在數學中合

法地位的確立法地位的確立，才真正徹底才真正徹底、圓滿地解決圓滿地解決

了第一次數學危機。

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第二次數學危機

– 十七世紀十七世紀，，牛頓牛頓與與萊布尼茲萊布尼茲各自獨立發現各自獨立發現

了微積分，但兩人的理論都建立在無窮小

分析之上，而對基本概念無窮小量的理解

與運用卻是混亂的與運用卻是混亂的。

? “貝克萊悖論”

– 無窮小量在牛頓的理論中無窮小量在牛頓的理論中 “一會兒是零會兒是零，

一會兒又不是零”。貝克萊嘲笑無窮小量

是“已死量的幽靈”。

? 危機的緩解危機的緩解：

– 19世紀末，柯西、魏爾斯特拉斯、戴德金、

康托爾康托爾各自經過獨立的研究各自經過獨立的研究，重建微積分重建微積分

學基礎，都將分析基礎歸結為實數理論，

數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的

無矛盾性無矛盾性，使微積分學建立在牢固可靠的使微積分學建立在牢固可靠的

基礎之上。

圖靈機的由來圖靈機的由來

? 第三次數學危機

– 十九世紀下半葉，康托爾創立了著名

的集合論。數學家們發現，從自然數

與康托爾集合論出發可建立起整個數

學大廈。

– 集合論成為現代數學的基石。“一切

數學成果可建立在集合論基礎上”.

– 1900年，國際數學家大會上，法國著

名數學家名數學家龐加萊龐加萊就曾興高采烈地宣稱就曾興高采烈地宣稱：：

“…借助集合論概念，我們可以建造

整個數學大廈…今天，我們可以說絕

對的對的嚴格性已格性 經達到達到了…”

圖靈機的由來圖靈機的由來

? “羅素悖論”

– 在塞爾維亞有在塞爾維亞有一位理發師位理發師，他宣稱他宣稱：他他

只給所有不給自己理發的人理發，不給

那些給自己理發的人理發。可是當他自

己要理發時要理發時，卻陷入了尷尬境地卻陷入了尷尬境地。

– 若他不給自己理發，根據他的第一個條

件件，，則應該給自己理發則應該給自己理發；；若給自己理發若給自己理發，，

根據他第二個條件，他不該給自己理發。

總之，無論理不理發，都違背了自己的 羅 素

諾言諾言。

德國數學家、邏輯學家弗雷格：

– S由一切不是自身元素的集合所組成。

然后羅素問：S是否屬于S呢？如果S屬

總結

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