剛體的姿態(tài)（attitude）有很多種表示方法，關(guān)于這個話題有一篇十分出名的綜述[1]，也是這篇文章的主要資料來源。這篇文章從二維旋轉(zhuǎn)開始，會討論旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)、歐拉角等旋轉(zhuǎn)的表示方法。在開始討論前，需要明確的一點是剛體的姿態(tài)具有三個自由度，但使用三個參數(shù)對姿態(tài)進行全局的、沒有奇異性的描述已經(jīng)被證明是不可能的[2]，這也是近來IMU姿態(tài)估計的方法大多使用四元數(shù)或旋轉(zhuǎn)矩陣的原因。

二維旋轉(zhuǎn)的表示

相比在三維空間中的旋轉(zhuǎn)，二維旋轉(zhuǎn)十分直觀且易于理解。二維旋轉(zhuǎn)指將二維平面上的一個向量

（起點為原點）繞原點旋轉(zhuǎn)一個角度 ，得到一個新的向量 。角度 可以完全描述這個旋轉(zhuǎn)操作，因此是最直接的二維旋轉(zhuǎn)的表示方法。但需要注意的是，因為角度具有周期性，任何相差 的整數(shù)倍的兩個角度所代表的旋轉(zhuǎn)是相同的（只考慮旋轉(zhuǎn)的結(jié)果），所以表示角度的空間不是實數(shù)集 ，而是一個商空間 。

這個商空間可以和平面上的單位圓做一一對應：

，也就是說，我們可以認為單位圓上的每一個點，對應了一個獨特的旋轉(zhuǎn)操作，這也是二維旋轉(zhuǎn)的第二種表示方法。最后，如果我們把旋轉(zhuǎn)后得到的向量寫成坐標的形式，可以得到：

(1)

其中

被稱為二維旋轉(zhuǎn)矩陣，可以和 作一一對應，是二維旋轉(zhuǎn)的第三種表示方法。旋轉(zhuǎn)矩陣是行列式為1的正交矩陣，也就是說它的每個列向量都是單位向量，每兩個列向量都是互相正交（垂直）的。

2. 旋轉(zhuǎn)矢量（rotation vector）

三維旋轉(zhuǎn)和二維旋轉(zhuǎn)的不同是：二維旋轉(zhuǎn)永遠繞著垂直于平面的軸旋轉(zhuǎn)，但三維旋轉(zhuǎn)可以繞三維空間內(nèi)的任意一根軸旋轉(zhuǎn)。根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)定理，任何一個三維旋轉(zhuǎn)可以表示為繞一根轉(zhuǎn)軸

旋轉(zhuǎn)一個角度 ，在這里我們約定轉(zhuǎn)軸 用單位向量表示。因此最直接的三維旋轉(zhuǎn)的表示方法就是單位向量 和角度 ，這種方法被稱為歐拉軸-角（axis-angle）。為了一些計算上的方便，我們可以把軸和角相乘，得到一個三維空間內(nèi)的一般向量 ，很容易驗證 和歐拉軸-角是一一對應的，這也就是三維旋轉(zhuǎn)的另一種表示方法，即所謂的旋轉(zhuǎn)矢量。需要注意的是，和二維旋轉(zhuǎn)的角度表示法類似，旋轉(zhuǎn)矢量也具有周期性：任何方向相同，長度相差 的整數(shù)倍（可以將負的長度理解為方向相反的向量）的兩個旋轉(zhuǎn)矢量表示相同的旋轉(zhuǎn)。因此如果考慮獨特的旋轉(zhuǎn)，我們可以把旋轉(zhuǎn)矢量限制在半徑為 的三維球體內(nèi)。

如果在三維空間內(nèi)一個向量

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)矢量 所表示的旋轉(zhuǎn)操作后得到 ，那么它們兩者有以下關(guān)系（Rodrigues' rotation formula）:

(2)

最后需要說明的是，當

時，旋轉(zhuǎn)矢量 的導數(shù)會出現(xiàn)無窮大的情況，這也是旋轉(zhuǎn)矢量表示方法的奇異點。

3. 旋轉(zhuǎn)矩陣（rotation matrix）

類似于二維旋轉(zhuǎn)，

和 的關(guān)系也可以用矩陣的形式來表示：

(3)

其中

被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，也是 IMU 姿態(tài)表示中最常用到的方法。表示三維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 是一個3×3，行列式為 1 的正交矩陣，也就是說它的每個列向量都是單位向量，每兩個列向量互相正交（垂直）?？梢宰C明兩個旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積還是旋轉(zhuǎn)矩陣，所以全部旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成一個“群”，也就是著名的 SO(3) 群，其中群的乘法就是矩陣的乘法。需要注意的是，矩陣的乘法是不交換的，也就是說一般情況下 ，這意味著連續(xù)進行的兩個旋轉(zhuǎn)如果交換順序，那么旋轉(zhuǎn)的結(jié)果也會不同。

旋轉(zhuǎn)矩陣可以由旋轉(zhuǎn)矢量計算得到：

(4)

其中

表示叉積矩陣，也就是對任意向量 ， ，它的表達式為：

(5)

最后需要說明的是，(4)可以寫成指數(shù)矩陣的表達形式：

，其中指數(shù)矩陣指： 。

4. 單位四元數(shù)（unit quaternion）

四元數(shù)是對復數(shù)數(shù)系的進一步拓展，由四個實數(shù)表示：

。三個虛數(shù)單位服從以下的運算規(guī)則： ， ， ， 。三維旋轉(zhuǎn)可以用單位四元數(shù)表示，即 的四元數(shù)。四元數(shù)有以下幾種常見的運算：

(i) 乘法：

(ii) 冪：

(iii) 共軛：

(iv) 逆：

對于單位四元數(shù)，它的逆運算和共軛運算的結(jié)果是一樣的。需要注意的是，與旋轉(zhuǎn)矩陣類似，四元數(shù)的乘法也是不交換的。

表示一個三維旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)可以由旋轉(zhuǎn)矢量

計算得到：

(6)

將

代入上式可以得到 ，這意味著 和 表示相同的三維旋轉(zhuǎn)。這是單位四元數(shù)一個非常重要的性質(zhì)，它和三維旋轉(zhuǎn)并不是一一對應的，而是 2 比 1 的對應關(guān)系。與旋轉(zhuǎn)矩陣類似，(6)也可以用指數(shù)函數(shù)的形式表示：如果將三維向量 寫為一個實部為 0 的四元數(shù) ，那么 ，其中四元數(shù)的指數(shù)函數(shù)為 。四元數(shù)也可以和旋轉(zhuǎn)矩陣之間互相轉(zhuǎn)換，具體公式可以通過歐拉軸-角表示法(4) 和 (6) 間接得到。

最后，與旋轉(zhuǎn)矩陣類似，一個向量

經(jīng)過單位四元數(shù) 所表示的旋轉(zhuǎn)操作后，得到的 也有很簡單的形式：

(7)

5. 歐拉角（Euler angles）

歐拉角大概是最常用到的姿態(tài)表示方法了，它的思路是把一個三維旋轉(zhuǎn)分解為三個繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)。歐拉角使用時最令人困惑的地方在于它的不同定義方法：根據(jù)三個坐標軸的不同順序，可以有12種定義方法；根據(jù)坐標軸是慣性坐標系（extrinsic）還是體坐標系（intrinsic），可以有2種定義方法。因此，一共有24種可能的方法來定義歐拉角，而且這些定義方式?jīng)]有一種是通用的，因此每次使用歐拉角時一定要說明是哪種定義。在量子力學中，最常用的歐拉角是體坐標系 z-x'-z''；我個人比較喜歡的一種歐拉角是體坐標系 z-y'-x''，其中三個旋轉(zhuǎn)角度也叫作yaw（航向角），pitch（俯仰角）和roll（橫滾角）。

體坐標系歐拉角z-x-z，xyz是原始坐標系，XYZ是旋轉(zhuǎn)后的坐標系

體坐標系歐拉角z-y-x，xyz是原始坐標系，XYZ是旋轉(zhuǎn)后的坐標系

歐拉角可以很方便地轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矩陣，其中繞三個坐標軸的旋轉(zhuǎn)分別可以轉(zhuǎn)化為如下的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(i) 繞x軸旋轉(zhuǎn)

(ii) 繞y軸旋轉(zhuǎn)

(iii) 繞z軸旋轉(zhuǎn)

對于用慣性坐標系定義的歐拉角，可以按坐標軸順序?qū)⒁陨先齻€基本旋轉(zhuǎn)矩陣左乘；而用體坐標系定義的歐拉角，則需按坐標軸順序右乘。例如體坐標系 z-y'-x'' 歐拉角所對應的旋轉(zhuǎn)矩陣是：

(8)

因為三維旋轉(zhuǎn)具有三個自由度，所以歐拉角是所有姿態(tài)的表示方法中需要用到參數(shù)最少的一種，也就是只用到三個參數(shù)。但是這樣的簡化也帶來了一些不方便的地方，在這里我們討論歐拉角的兩個缺點。第一個是歐拉角具有周期性，但和旋轉(zhuǎn)矢量不同，它的周期性很不直觀。以體坐標系 z-y'-x'' 歐拉角為例，它三個角度的范圍是：

， ， 。這三個角度不僅以 為周期，而且通過 的公式可以驗證： ， ， 與 ， ， 表示的是相同的三維旋轉(zhuǎn)。這樣非常規(guī)的周期性在實踐中有時難以察覺，而且也使歐拉角本身的含義變得難以理解。歐拉角的第二個缺點是“臭名昭著”的自鎖現(xiàn)象（gimbal lock）：即當俯仰角 時，第三步中的 x-軸與第一步中的 z-軸重合，因此第一步繞 z-軸的旋轉(zhuǎn)和第三步繞 x-軸的旋轉(zhuǎn)實際上是一樣的，導致歐拉角損失了一個自由度。在自鎖點附近，橫滾角 及航向角 的導數(shù)會趨向于無窮大，這也是歐拉角表示方法的奇異點。在使用卡爾曼濾波器時，這樣的性質(zhì)可能會使方差的計算十分不準確，我們會在后面討論卡爾曼濾波器的文章中詳細介紹這個問題。

6. 旋轉(zhuǎn)和姿態(tài)的關(guān)系

在上面的討論中，旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)、歐拉角指的都是在三維空間中旋轉(zhuǎn)一個向量的操作，那么這個操作和剛體的姿態(tài)有什么關(guān)系？這個問題可以用旋轉(zhuǎn)矩陣回答：假設旋轉(zhuǎn)矩陣

將一個坐標系 xyz 旋轉(zhuǎn)到 x'y'z'（將坐標軸理解為三維向量），那么如果一個向量在 xyz 坐標系中由坐標 表示，在 x'y'z' 坐標系中由坐標 表示，這兩個坐標有如下的關(guān)系：

(9)

在IMU中，我們計算的

是將一個向量在體坐標系（x'y'z'）里的坐標轉(zhuǎn)為在慣性坐標系（xyz）中的坐標，那么這個旋轉(zhuǎn)矩陣 的另外一層含義是將慣性坐標系旋轉(zhuǎn)到體坐標系的旋轉(zhuǎn)操作。

如果我們將

代入(9)可以得到： 的第一列是體坐標系的x-軸在慣性坐標系里的坐標；類似的， 的第二、三列分別是體坐標系的 y-軸和 z-軸在慣性坐標系里的坐標。因為的 逆和它的轉(zhuǎn)置相等，所以 的第一、二、三行分別是慣性坐標系的 x-軸、y-軸、z-軸在體坐標系里的坐標。

7. 總結(jié)

剛體的姿態(tài)一般可以用四種方法表示：旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)和歐拉角。剛體的姿態(tài)有三個自由度，在四種表示方法中，旋轉(zhuǎn)矢量和歐拉角用了三個參數(shù)；四元數(shù)用了四個參數(shù)和一個約束條件（長度為1）；旋轉(zhuǎn)矩陣用了九個參數(shù)和六個約束條件（矩陣的正交性）。旋轉(zhuǎn)矢量和歐拉角都具有奇異性，也就是說在某種姿態(tài)下，它們的導數(shù)會趨向無窮大；四元數(shù)沒有奇異性，但它和姿態(tài)是2比1的對應關(guān)系；只有旋轉(zhuǎn)矩陣既沒有奇異性，而且和姿態(tài)是一一對應的。在IMU姿態(tài)估計中，可以使用旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)或歐拉角對角速度進行積分，并設計濾波器。在乘法擴展卡爾曼濾波器中（MEKF），是用四元數(shù)進行積分，用旋轉(zhuǎn)矢量表示姿態(tài)誤差及估計姿態(tài)的協(xié)方差矩陣。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的依据imu姿态角计算z轴倾角_1. 姿态的表示方法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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