剛體的姿態（attitude）有很多種表示方法，關于這個話題有一篇十分出名的綜述[1]，也是這篇文章的主要資料來源。這篇文章從二維旋轉開始，會討論旋轉矢量、旋轉矩陣、四元數、歐拉角等旋轉的表示方法。在開始討論前，需要明確的一點是剛體的姿態具有三個自由度，但使用三個參數對姿態進行全局的、沒有奇異性的描述已經被證明是不可能的[2]，這也是近來IMU姿態估計的方法大多使用四元數或旋轉矩陣的原因。

二維旋轉的表示

相比在三維空間中的旋轉，二維旋轉十分直觀且易于理解。二維旋轉指將二維平面上的一個向量

（起點為原點）繞原點旋轉一個角度 ，得到一個新的向量 。角度 可以完全描述這個旋轉操作，因此是最直接的二維旋轉的表示方法。但需要注意的是，因為角度具有周期性，任何相差 的整數倍的兩個角度所代表的旋轉是相同的（只考慮旋轉的結果），所以表示角度的空間不是實數集 ，而是一個商空間 。

這個商空間可以和平面上的單位圓做一一對應：

，也就是說，我們可以認為單位圓上的每一個點，對應了一個獨特的旋轉操作，這也是二維旋轉的第二種表示方法。最后，如果我們把旋轉后得到的向量寫成坐標的形式，可以得到：

(1)

其中

被稱為二維旋轉矩陣，可以和 作一一對應，是二維旋轉的第三種表示方法。旋轉矩陣是行列式為1的正交矩陣，也就是說它的每個列向量都是單位向量，每兩個列向量都是互相正交（垂直）的。

2. 旋轉矢量（rotation vector）

三維旋轉和二維旋轉的不同是：二維旋轉永遠繞著垂直于平面的軸旋轉，但三維旋轉可以繞三維空間內的任意一根軸旋轉。根據歐拉旋轉定理，任何一個三維旋轉可以表示為繞一根轉軸

旋轉一個角度 ，在這里我們約定轉軸 用單位向量表示。因此最直接的三維旋轉的表示方法就是單位向量 和角度 ，這種方法被稱為歐拉軸-角（axis-angle）。為了一些計算上的方便，我們可以把軸和角相乘，得到一個三維空間內的一般向量 ，很容易驗證 和歐拉軸-角是一一對應的，這也就是三維旋轉的另一種表示方法，即所謂的旋轉矢量。需要注意的是，和二維旋轉的角度表示法類似，旋轉矢量也具有周期性：任何方向相同，長度相差 的整數倍（可以將負的長度理解為方向相反的向量）的兩個旋轉矢量表示相同的旋轉。因此如果考慮獨特的旋轉，我們可以把旋轉矢量限制在半徑為 的三維球體內。

如果在三維空間內一個向量

經過旋轉矢量 所表示的旋轉操作后得到 ，那么它們兩者有以下關系（Rodrigues' rotation formula）:

(2)

最后需要說明的是，當

時，旋轉矢量 的導數會出現無窮大的情況，這也是旋轉矢量表示方法的奇異點。

3. 旋轉矩陣（rotation matrix）

類似于二維旋轉，

和 的關系也可以用矩陣的形式來表示：

(3)

其中

被稱為旋轉矩陣，也是 IMU 姿態表示中最常用到的方法。表示三維旋轉的旋轉矩陣 是一個3×3，行列式為 1 的正交矩陣，也就是說它的每個列向量都是單位向量，每兩個列向量互相正交（垂直）。可以證明兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣，所以全部旋轉矩陣構成一個“群”，也就是著名的 SO(3) 群，其中群的乘法就是矩陣的乘法。需要注意的是，矩陣的乘法是不交換的，也就是說一般情況下 ，這意味著連續進行的兩個旋轉如果交換順序，那么旋轉的結果也會不同。

旋轉矩陣可以由旋轉矢量計算得到：

(4)

其中

表示叉積矩陣，也就是對任意向量 ， ，它的表達式為：

(5)

最后需要說明的是，(4)可以寫成指數矩陣的表達形式：

，其中指數矩陣指： 。

4. 單位四元數（unit quaternion）

四元數是對復數數系的進一步拓展，由四個實數表示：

。三個虛數單位服從以下的運算規則： ， ， ， 。三維旋轉可以用單位四元數表示，即 的四元數。四元數有以下幾種常見的運算：

(i) 乘法：

(ii) 冪：

(iii) 共軛：

(iv) 逆：

對于單位四元數，它的逆運算和共軛運算的結果是一樣的。需要注意的是，與旋轉矩陣類似，四元數的乘法也是不交換的。

表示一個三維旋轉的單位四元數可以由旋轉矢量

計算得到：

(6)

將

代入上式可以得到 ，這意味著 和 表示相同的三維旋轉。這是單位四元數一個非常重要的性質，它和三維旋轉并不是一一對應的，而是 2 比 1 的對應關系。與旋轉矩陣類似，(6)也可以用指數函數的形式表示：如果將三維向量 寫為一個實部為 0 的四元數 ，那么 ，其中四元數的指數函數為 。四元數也可以和旋轉矩陣之間互相轉換，具體公式可以通過歐拉軸-角表示法(4) 和 (6) 間接得到。

最后，與旋轉矩陣類似，一個向量

經過單位四元數 所表示的旋轉操作后，得到的 也有很簡單的形式：

(7)

5. 歐拉角（Euler angles）

歐拉角大概是最常用到的姿態表示方法了，它的思路是把一個三維旋轉分解為三個繞坐標軸的旋轉。歐拉角使用時最令人困惑的地方在于它的不同定義方法：根據三個坐標軸的不同順序，可以有12種定義方法；根據坐標軸是慣性坐標系（extrinsic）還是體坐標系（intrinsic），可以有2種定義方法。因此，一共有24種可能的方法來定義歐拉角，而且這些定義方式沒有一種是通用的，因此每次使用歐拉角時一定要說明是哪種定義。在量子力學中，最常用的歐拉角是體坐標系 z-x'-z''；我個人比較喜歡的一種歐拉角是體坐標系 z-y'-x''，其中三個旋轉角度也叫作yaw（航向角），pitch（俯仰角）和roll（橫滾角）。

體坐標系歐拉角z-x-z，xyz是原始坐標系，XYZ是旋轉后的坐標系

體坐標系歐拉角z-y-x，xyz是原始坐標系，XYZ是旋轉后的坐標系

歐拉角可以很方便地轉化為旋轉矩陣，其中繞三個坐標軸的旋轉分別可以轉化為如下的旋轉矩陣：

(i) 繞x軸旋轉

(ii) 繞y軸旋轉

(iii) 繞z軸旋轉

對于用慣性坐標系定義的歐拉角，可以按坐標軸順序將以上三個基本旋轉矩陣左乘；而用體坐標系定義的歐拉角，則需按坐標軸順序右乘。例如體坐標系 z-y'-x'' 歐拉角所對應的旋轉矩陣是：

(8)

因為三維旋轉具有三個自由度，所以歐拉角是所有姿態的表示方法中需要用到參數最少的一種，也就是只用到三個參數。但是這樣的簡化也帶來了一些不方便的地方，在這里我們討論歐拉角的兩個缺點。第一個是歐拉角具有周期性，但和旋轉矢量不同，它的周期性很不直觀。以體坐標系 z-y'-x'' 歐拉角為例，它三個角度的范圍是：

， ， 。這三個角度不僅以 為周期，而且通過 的公式可以驗證： ， ， 與 ， ， 表示的是相同的三維旋轉。這樣非常規的周期性在實踐中有時難以察覺，而且也使歐拉角本身的含義變得難以理解。歐拉角的第二個缺點是“臭名昭著”的自鎖現象（gimbal lock）：即當俯仰角 時，第三步中的 x-軸與第一步中的 z-軸重合，因此第一步繞 z-軸的旋轉和第三步繞 x-軸的旋轉實際上是一樣的，導致歐拉角損失了一個自由度。在自鎖點附近，橫滾角 及航向角 的導數會趨向于無窮大，這也是歐拉角表示方法的奇異點。在使用卡爾曼濾波器時，這樣的性質可能會使方差的計算十分不準確，我們會在后面討論卡爾曼濾波器的文章中詳細介紹這個問題。

6. 旋轉和姿態的關系

在上面的討論中，旋轉矢量、旋轉矩陣、四元數、歐拉角指的都是在三維空間中旋轉一個向量的操作，那么這個操作和剛體的姿態有什么關系？這個問題可以用旋轉矩陣回答：假設旋轉矩陣

將一個坐標系 xyz 旋轉到 x'y'z'（將坐標軸理解為三維向量），那么如果一個向量在 xyz 坐標系中由坐標 表示，在 x'y'z' 坐標系中由坐標 表示，這兩個坐標有如下的關系：

(9)

在IMU中，我們計算的

是將一個向量在體坐標系（x'y'z'）里的坐標轉為在慣性坐標系（xyz）中的坐標，那么這個旋轉矩陣 的另外一層含義是將慣性坐標系旋轉到體坐標系的旋轉操作。

如果我們將

代入(9)可以得到： 的第一列是體坐標系的x-軸在慣性坐標系里的坐標；類似的， 的第二、三列分別是體坐標系的 y-軸和 z-軸在慣性坐標系里的坐標。因為的 逆和它的轉置相等，所以 的第一、二、三行分別是慣性坐標系的 x-軸、y-軸、z-軸在體坐標系里的坐標。

7. 總結

剛體的姿態一般可以用四種方法表示：旋轉矢量、旋轉矩陣、四元數和歐拉角。剛體的姿態有三個自由度，在四種表示方法中，旋轉矢量和歐拉角用了三個參數；四元數用了四個參數和一個約束條件（長度為1）；旋轉矩陣用了九個參數和六個約束條件（矩陣的正交性）。旋轉矢量和歐拉角都具有奇異性，也就是說在某種姿態下，它們的導數會趨向無窮大；四元數沒有奇異性，但它和姿態是2比1的對應關系；只有旋轉矩陣既沒有奇異性，而且和姿態是一一對應的。在IMU姿態估計中，可以使用旋轉矩陣、四元數或歐拉角對角速度進行積分，并設計濾波器。在乘法擴展卡爾曼濾波器中（MEKF），是用四元數進行積分，用旋轉矢量表示姿態誤差及估計姿態的協方差矩陣。

總結

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