共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的算法之一。?在各種優化算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需存儲量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來參數。

算法步驟：

import random

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

'''

線性搜索子函數

數f，導數df，當前迭代點x和當前搜索方向d，t試探系數>1，

'''

flag = 0

a = 0

b = alpham

fk = f(x)

gk = df(x)

phi0 = fk

dphi0 = np.dot(gk, d)

alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):

newfk = f(x + alpha * d)

phi = newfk

# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)

if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):

if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):

flag = 1

else:

a = alpha

b = b

if (b < alpham):

alpha = (a + b) / 2

else:

alpha = t * alpha

else:

a = a

b = alpha

alpha = (a + b) / 2

return alpha

def Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

'''

線性搜索子函數

數f，導數df，當前迭代點x和當前搜索方向d

σ∈(ρ,1)=0.75

'''

sigma=0.75

flag = 0

a = 0

b = alpham

fk = f(x)

gk = df(x)

phi0 = fk

dphi0 = np.dot(gk, d)

alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):

newfk = f(x + alpha * d)

phi = newfk

# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)

if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):

# if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:

if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):

flag = 1

else:

a = alpha

b = b

if (b < alpham):

alpha = (a + b) / 2

else:

alpha = t * alpha

else:

a = a

b = alpha

alpha = (a + b) / 2

return alpha

def frcg(fun,gfun,x0):

# x0是初始點，fun和gfun分別是目標函數和梯度

# x,val分別是近似最優點和最優值，k是迭代次數

# dk是搜索方向，gk是梯度方向

# epsilon是預設精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范數

maxk = 5000

rho = 0.6

sigma = 0.4

k = 0

epsilon = 1e-5

n = np.shape(x0)[0]

itern = 0

W = np.zeros((2, 20000))

f = open("共軛.txt", 'w')

while k < maxk:

W[:, k] = x0

gk = gfun(x0)

itern += 1

itern %= n

if itern == 1:

dk = -gk

else:

beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)

dk = -gk + beta * d0

gd = np.dot(gk, dk)

if gd >= 0.0:

dk = -gk

if np.linalg.norm(gk) < epsilon:

break

alpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)

# alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)

x0+=alpha*dk

f.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")

print(k,alpha)

g0 = gk

d0 = dk

k += 1

W = W[:, 0:k+1] # 記錄迭代點

return [x0, fun(x0), k,W]

def fun(x):

return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2

def gfun(x):

return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])

if __name__=="__main__":

X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)

X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)

[x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)

f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 給定的函數

plt.contour(x1, x2, f, 20) # 畫出函數的20條輪廓線

x0 = np.array([-1.2, 1])

x=frcg(fun,gfun,x0)

print(x[0],x[2])

# [1.00318532 1.00639618]

W=x[3]

# print(W[:, :])

plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 畫出迭代點收斂的軌跡

plt.show()

代碼中求最優步長用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是試驗的部分，在本段程序中不起作用。

迭代軌跡：

三種最優化方法的迭代次數對比：

最優化方法

最速下降法

共軛梯度法

牛頓法

迭代次數

1702

240

5

以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持我們。

時間： 2019-07-03

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性共轭梯度法python_python实现的共轭梯度法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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