作者：桂。

時(shí)間：2017-10-26??07:11:02

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前言

主要記錄特征值分解的硬件實(shí)現(xiàn)思路。

一、實(shí)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化

在FPGA運(yùn)算中，對實(shí)數(shù)運(yùn)算通常優(yōu)于對復(fù)數(shù)運(yùn)算。假設(shè)C為復(fù)數(shù)矩陣：C= A+iB;且

C = C^H

從而A = A^T;B = -B^T；若C的奇異值所對應(yīng)的奇異向量為u + iv，且滿足：

對應(yīng)有：

借助矩陣形式表示：

根據(jù)A、B的性質(zhì)，存在：

一個(gè)NxN的Hermitian矩陣分解，轉(zhuǎn)化為2Nx2N的實(shí)對稱矩陣分解。

?

二、Jacobi算法（Givens旋轉(zhuǎn)）

?對于對稱矩陣：

其中Givens參數(shù)：

該公式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化：$tan(2theta) = 2a_{ij}/(a_{jj}-a_{ii})$;theta可以借助cordic算法求解。

此處可以借助Cordic求解角度，也可以利用CORDIC求根號的思路進(jìn)行sin、cos的計(jì)算：

aii= 1; ajj = 3; aij = 1.2; tan_2 = (2*aij/(ajj-aii)); theta = 1/2*atan(tan_2); tao = 1/tan_2; t = sign(tao)/(abs(tao)+sqrt(1+tao.^2)); cos_1 = 1/sqrt(1+t^2) cos_1_new = cos(theta) sin_1 = t/sqrt(1+t^2) sin_1_new = sin(theta)

使用Givens旋轉(zhuǎn)左乘A，可以得到對角陣，右乘同樣可以得出。只使用左乘\右乘的Givens旋轉(zhuǎn)稱為單邊Givens旋轉(zhuǎn)。與之不同，對nxn對稱矩陣A同時(shí)采用左乘、右乘的方法，稱為雙邊Givens旋轉(zhuǎn)。

具體代碼實(shí)現(xiàn)，參見：印象筆記-005常用算法-0020Jacobi算法。

借助之前SVD實(shí)現(xiàn)矩陣求逆的思路，矩陣求逆的硬件實(shí)現(xiàn)，也可以在此基礎(chǔ)上直接實(shí)現(xiàn)。(此處實(shí)對稱矩陣，利用：特征向量x特征值取反x特征向量轉(zhuǎn)置，即完成矩陣求逆)

clc;clear all; x = rand(4,100)*20+1i*rand(4,100)*20; R = x*x'/100; A = real(R); B = imag(R); R_cat = [A -B;B A]; [D,V]=Jacobi(R_cat); % V = V'; U_est = V(1:4,1:2:end)+1i*V(5:end,1:2:end); D0 = diag(D); D0 = 1./D0(1:2:end); R_inv = U_est*diag(D0)*U_est'

?三、并行拆解思路

對于nxn的矩陣分解，一種思路是尋找矩陣所有非對角元素中絕對值較大者進(jìn)行雙邊Jacobi變換，使得該非對角線元素變?yōu)?.接著進(jìn)行第二次變換，直到收斂至精度要求，O（n2）復(fù)雜度。

另一種是固定計(jì)算順序的方法（術(shù)語：循環(huán)Jacobi，cycle Jacobi），簡單粗暴且便于在硬件上實(shí)現(xiàn)(行/列):

假設(shè)矩陣維度為8，經(jīng)過一次迭代的計(jì)算順序可表示為：

仿真驗(yàn)證參考：Jacobi并行拆解

對于維度為N的矩陣，每一行的N/2個(gè)都可以并行，遍歷一次（專業(yè)術(shù)語：Sweep）需要N-1個(gè)周期。對于N維度的矩陣，排序的順序?yàn)?#xff1a;

如N = 10，除去1，2追溯到4，3追溯到2，5追溯到3.......依次類推。

S_0：(1,2)-(3,4)-(5,6)-(7,8)-(9,10)

S_1：(1,4)-(2,6)-(3,8)-(5,10)-(7,9)

......

BLV Array for N=8. Data transmission is represented as solid arrows and rotation parameters transmission with unfilled arrows.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复数矩阵分解的拆解思路（矩阵求逆/特征值分解）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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