作者：桂。

時間：2017-12-19??21:39:08

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前言

　　前幾天碰到一個序列分析的問題，涉及到自回歸（auto-regression, AR）等模型，但如何確定序列的平穩(wěn)性呢？ 發(fā)現(xiàn)金融數(shù)據(jù)分析里，這方面的知識很多，以后用到可以借鑒，例如伍德里奇《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)導(dǎo)論》，高鐵梅《計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模》，關(guān)鍵詞：序列檢測與判定、概率模型、統(tǒng)計(jì)。

一、平穩(wěn)特性

序列的平穩(wěn)特性通常從三個方面分析：

1）均值

均值不應(yīng)該是關(guān)于時間t的函數(shù)，而應(yīng)該是一個常數(shù)。

2）方差

方差不應(yīng)該是時間的函數(shù)，即方差需要有：同方差性（homoscedasticity）

3）協(xié)方差

i時刻與i+m時刻協(xié)方差不應(yīng)該是時間的函數(shù)：

常用的平穩(wěn)定義包括：1）嚴(yán)平穩(wěn)；2）寬平穩(wěn)；對于手中的序列，嚴(yán)平穩(wěn)難以判定，通常用寬平穩(wěn)判據(jù)：一階矩、二階矩，即從均值、方差角度考慮，而不再考慮高階分布特性。

給定序列：

X(t) = Er(t)

其中Er(t)為高斯白噪聲序列，則x(t)為平穩(wěn)信號。

給定序列：

X(t) = X(t-1) + Er(t)

這便是隨機(jī)游走：

小女孩從初始位置出發(fā)，經(jīng)過若干步之后，位置可表示為：

X(t) = X(0) + Sum(Er(1),Er(2),Er(3).....Er(t))

隨機(jī)游走的平穩(wěn)性:

1）均值

E[X(t)] = E[X(0)] + Sum(E[Er(1)],E[Er(2)],E[Er(3)].....E[Er(t)])

均值是常數(shù)。

2）方差

Var[X(t)] = Var[X(0)] + Sum(Var[Er(1)],Var[Er(2)],Var[Er(3)].....Var[Er(t)])

即

Var[X(t)] = t?* Var(Error) = Time dependent.

方差是時間的函數(shù)，可見隨機(jī)游走是非平穩(wěn)過程。

?

二、平穩(wěn)性檢驗(yàn)

?上文分析隨機(jī)游走：

X(t) = X(t-1) + Er(t)

是非平穩(wěn)過程。

白噪聲序列：

X(t) = Er(t)

是平穩(wěn)隨機(jī)過程。

現(xiàn)在進(jìn)行折中：

X(t) = Rho * X(t-1) + Er(t)

上面兩個例子分別對應(yīng)Rho = 0、1.

Rho = 0:

Rho= 0.5:

Rho = 0.9:

Rho = 1:

從圖中可以看出，除了Rho = 1具有明顯的非平穩(wěn)特性外，其余序列都可近似看作平穩(wěn)特性，此時已經(jīng)不是嚴(yán)格意義的平穩(wěn)（不一定滿足寬平穩(wěn)條件），通常借助其他方式檢驗(yàn)：

H0:...; H1:...，進(jìn)行判定。

?

三、其它

對于AR模型：

先看AR（1）的情形：

求方差：

可以看出平穩(wěn)條件：，這與上文Rho絕對值介于（0，1）的結(jié)論是一致的。

推廣到AR（2）:

平穩(wěn)條件為對應(yīng)特征方程（高數(shù)-齊次方程的內(nèi)容）：

即：

更一般地，對于AR模型：特征值均論在單位圓內(nèi)。可以看出平穩(wěn)的判定是一種思路，與平穩(wěn)條件：寬平穩(wěn)并非嚴(yán)格等價。但這提供了檢驗(yàn)平穩(wěn)性的思路。ARMA等模型的分析與此類似，AR、ARMA的模型要求序列滿足平穩(wěn)特性，但對于擬合殘差沒有任何約束，基于異方差特性的ARCH等模型就是從這個種子里生出的新芽。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的AR模型与数据平稳性之间的关系的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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