一,BL模型的發(fā)展

馬科維茨（Harry Markowitz）的現(xiàn)代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）對(duì)于量化投資有著開天辟地的作用。它通過(guò)“均值 — 方差”最優(yōu)化來(lái)確定最佳資產(chǎn)配置組合，同時(shí)考慮收益的最大化和風(fēng)險(xiǎn)的最小化（Markowitz 1952）。

然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法雖然在數(shù)學(xué)上十分優(yōu)雅，但它在投資實(shí)務(wù)中的影響卻遠(yuǎn)不及它在理論上的名聲卓著。究其原因，是因?yàn)樗o出的最佳投資組合對(duì)該模型的核心輸入之一即投資品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

為解決這個(gè)問(wèn)題，兩位量化投資界的先驅(qū) —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 發(fā)明了大名鼎鼎的 Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場(chǎng)均衡假設(shè)推出的資產(chǎn)收益率為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合投資者對(duì)不同投資品收益率的主動(dòng)判斷，最終確定投資品的收益率和最佳的投資組合配置。

二,均值方差模型的缺點(diǎn)

假設(shè)我們要在 N 個(gè)投資品之間進(jìn)行資產(chǎn)配置。馬科維茨的現(xiàn)代資產(chǎn)配置理論以這些投資品的期望收益率和協(xié)方差矩陣作為輸入，通過(guò)最優(yōu)化下列目標(biāo)函數(shù)求出最佳的投資組合：

其中 表示投資品的期望收益率向量， 表示投資品的協(xié)方差矩陣， 表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)， 則是投資品在投資組合中的配置權(quán)重。在不考慮任何約束的情況下，該問(wèn)題的最優(yōu)解，即最佳資產(chǎn)配置為：

該模型之所以在實(shí)際中被專業(yè)投資機(jī)構(gòu)詬病有兩個(gè)原因。第一是因?yàn)樗妮斎敕浅?yán)苛：投資者必須提供待配置投資品的期望收益率和協(xié)方差。一旦預(yù)測(cè)的數(shù)值非常離譜，那么資產(chǎn)配置效用的最大化就變成誤差的最大化。對(duì)于協(xié)方差，通過(guò)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算尚且能用，但是對(duì)于未來(lái)的期望收益率的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)卻難上加難。二者相較，期望的預(yù)測(cè)比協(xié)方差的預(yù)測(cè)更加重要

Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的誤差對(duì)資產(chǎn)配置的影響比協(xié)方差的影響高一個(gè)數(shù)量級(jí)。

第二個(gè)原因是，它求出的最佳資產(chǎn)配置權(quán)重對(duì)期望收益率非常敏感。當(dāng)期望收益率有哪怕僅僅一點(diǎn)變化時(shí)，它給出的最佳配置較之前的配置可能發(fā)生很大的改變，這樣的結(jié)果很難被投資者所接受。

人們很難有效的預(yù)測(cè)期望收益率；
最優(yōu)資產(chǎn)組合配置對(duì)輸入非常敏感，結(jié)果往往難以被人理解。

為了解決這兩個(gè)問(wèn)題，Black 和 Litterman 于 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。

三,收益率的貝葉斯收縮

與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的區(qū)別在于對(duì)收益率的預(yù)測(cè)。在收益率預(yù)測(cè)方面，Black-Litterman 最本質(zhì)的核心是它在貝葉斯框架下使用先驗(yàn)收益率以及新息得到后驗(yàn)收益率，它是一種對(duì)收益率的貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得到收益率后，Black-Litterman 模型同樣通過(guò)求解第二節(jié)中的最優(yōu)化問(wèn)題確定最優(yōu)的資產(chǎn)配置權(quán)重。

貝葉斯收縮以某種方法得出的期望收益率作為先驗(yàn)（prior），以最近 T 期收益率數(shù)據(jù)求出樣本期望收益率作為新息（new observation），結(jié)合前兩者最終計(jì)算出后驗(yàn)期望收益率（posterior）。該方法以最優(yōu)的比例使基于新息的預(yù)測(cè)向先驗(yàn)預(yù)測(cè)“收縮”，這個(gè)最優(yōu)的比例使得后驗(yàn)期望收益率的誤差最小。

在數(shù)學(xué)上，上述方法的表達(dá)式如下：

其中 ， 及 分別表示先驗(yàn)、后驗(yàn)、新息期望收益率向量； 是先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣， 為新息期望收益率的協(xié)方差矩陣（ 為收益率的樣本協(xié)方差矩陣、T 為樣本數(shù)即期數(shù)）；-1 次方表示對(duì)矩陣求逆。

不難看出，后驗(yàn)期望收益率 就是 先驗(yàn) 和新息 的加權(quán)平均，而這兩者的權(quán)重與它們各自的精度（由協(xié)方差矩陣的逆衡量）有關(guān)，這就是貝葉斯收縮的核心。在現(xiàn)實(shí)中使用上述方法時(shí)，對(duì)于期望收益率的先驗(yàn)，可以采用因子法或者經(jīng)驗(yàn)法估計(jì)，不同的方法各有千秋。了解了貝葉斯收縮之后，我們馬上來(lái)看解釋 Black-Litterman 模型。

四,貝葉斯框架下的BL模型

Black-Litterman 模型的本質(zhì)就是一種收益率的貝葉斯收縮，只不過(guò)無(wú)論是期望收益率的先驗(yàn)還是新息，都是從投資的實(shí)務(wù)出發(fā)的（畢竟提出這個(gè)的人來(lái)自高盛，出發(fā)點(diǎn)是為了解決實(shí)際資產(chǎn)配置中遇到的問(wèn)題）。

先來(lái)看看先驗(yàn)期望收益率。

Black-Litterman 模型從市場(chǎng)的供需出發(fā)，認(rèn)為投資品在整個(gè)市場(chǎng)中按其市值的占比體現(xiàn)了當(dāng)前市場(chǎng)供需關(guān)系的均衡狀態(tài)（equilibrium）。投資品市值與市場(chǎng)總市值的比值就是該投資品在這個(gè)市場(chǎng)均衡組合中的權(quán)重，記為 。在這個(gè)基礎(chǔ)上，模型進(jìn)一步假設(shè)各投資品的在市場(chǎng)組合中的配置比例 是由投資者追求效用的最大化（即第二節(jié)中的最優(yōu)化問(wèn)題）所致，并由 反推出市場(chǎng)均衡狀態(tài)下各投資品的收益率，把它作為先驗(yàn)：

對(duì)于先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣，模型假設(shè)它和收益率的協(xié)方差矩陣 有著同樣的結(jié)構(gòu)，但是數(shù)量級(jí)要小很多。它用一個(gè)很小的標(biāo)量 作為縮放尺度，得到先驗(yàn)期望收益率的協(xié)方差矩陣 。

再來(lái)看看新息期望收益率。

Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對(duì)于投資品收益率相對(duì)強(qiáng)弱的主動(dòng)判斷（稱為 views，即觀點(diǎn)）。舉個(gè)例子，有兩個(gè)投資品 A 和 B，我們通過(guò)分析認(rèn)為 A 比 B 的期望收益率要高 2%，這意味著做多 A 并同時(shí)做空 B 的投資組合可以獲得 2% 的收益。在數(shù)學(xué)上，假設(shè) E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，則上述觀點(diǎn)可以表述為：

其中 是 K × N 矩陣（K 表示 views 的個(gè)數(shù)；N 表示投資品的個(gè)數(shù)；本例中 ）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 ）； 是 K 階向量（本例中 ），表示每個(gè) view 中投資品收益率相對(duì)強(qiáng)弱的大小。

這個(gè)方法的好處是，它事實(shí)上根本無(wú)需投資者來(lái)猜 （在稍后的推導(dǎo)中可以看到， 不出現(xiàn)在貝葉斯收縮的表達(dá)式中），而只需要投資者提供矩陣 和向量 來(lái)表達(dá)自己的觀點(diǎn)。

現(xiàn)實(shí)中，投資者往往對(duì)自己的 views 并不是 100% 確定。這時(shí)，我們可以把收益率相對(duì)強(qiáng)弱的取值理解為來(lái)自一個(gè)正態(tài)分布，并通過(guò)該分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述主動(dòng)判斷的不確定性。例如在上面的例子中，我們可以說(shuō) A 比 B 的期望收益率要高 2%，而標(biāo)準(zhǔn)差為 3%。在數(shù)學(xué)上，該模型使用 K × K 的矩陣 記錄 views 的不確定性。模型假設(shè) views 之間相互獨(dú)立，因此 Ω 是一個(gè)對(duì)角陣，對(duì)角線上的元素表示對(duì)這 K 個(gè) views 的方差。最后，通過(guò) P 將 的逆矩陣轉(zhuǎn)化為 （N × N 矩陣）作為新息期望收益率的精度。

把先驗(yàn)和新息期望收益率套到貝葉斯收縮的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的后驗(yàn)期望收益率：

上面的推導(dǎo)中用到了 ，從而巧妙的將 從貝葉斯收縮的表達(dá)式中消除了。求出后驗(yàn)期望收益率 之后，帶入第二節(jié)的最優(yōu)化問(wèn)題中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最優(yōu)投資組合權(quán)重：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的资产配置模型之-BL模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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