第六章 统计量及其抽样分布
1 統(tǒng)計(jì)量
統(tǒng)計(jì)量：由樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，不依賴任何參數(shù)
常用統(tǒng)計(jì)量：樣本均值（X?ˉ??）、樣本方差（S?2??）、樣本變異系數(shù)（V=SX?ˉ???）、樣本k階距、樣本k階中心距、樣本偏度、樣本峰度
次序統(tǒng)計(jì)量：樣本極差（最大值減最小值）
充分統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中一點(diǎn)信息都不損失的統(tǒng)計(jì)量。判別定理：因子分解定理
2 由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布
1 χ?2??分布
設(shè)隨機(jī)變量X?1?，X?2?，...,X?n??相互獨(dú)立，且X?i?(i?1,2,...,n)?服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)?，則它們的平方和∑?n?i=1?X?2?i??服從自由度為n?的χ 2 分布。
E(χ?2?)=n;D(χ?2?)=2n?
χ?2??分布具有可加性，即若χ?2?1?～χ?2?(n?1?),χ?2?2?～χ?2?(n?2?)?，且獨(dú)立，則
χ?1?1?+χ?2?2?～χ?2?(n?1?)+χ?2?(n?2?)?
χ?2??的密度函數(shù)如下圖所示：
2 t?分布
設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1),Y～χ 2 (n) ，且X?與Y 獨(dú)立，則
t=XY/n??????????√???
稱(chēng)為t?分布，記為t(n) ,其中n?為自由度。
當(dāng)n≥2 時(shí)，t?分布的數(shù)學(xué)期望E(t)=0
當(dāng)n≥3?時(shí)，t?分布的方差D(t)=nn?2
t?的密度函數(shù)如下圖所示：
3 F 分布
設(shè)隨機(jī)變量Y?與Z 相互獨(dú)立，且Y?和Z 分別服從自由度為m?和n 的χ?2??分布，隨機(jī)變量X?有如下表達(dá)式：
X=Y/mZ/n =nYmZ
則稱(chēng)X?服從第一自由度為m ，第二自由度為n?的F 分布 ，記為F(m,n)?
E(X)=nn=2?,n>2?
D(X)=2n?2?(m+n?2)m(n?2(n?4))?,n>4?
F?的密度函數(shù)如下圖所示：
如果隨機(jī)變量X 服從t(n)?，則X?2??服從F(1,n)的F?分布。這在回歸分析的回歸系數(shù)檢驗(yàn)中有用。
3 樣本均值的分布于中心極限定理
當(dāng)總體分布為正態(tài)分布N(μ,σ 2 ) 時(shí)，則X?ˉ??的抽樣分布仍為正態(tài)分布，期望為μ?，方差為σ?2?/n?。這說(shuō)明用樣本均值X?ˉ??去估計(jì)總體均值μ?時(shí)，平均來(lái)說(shuō)沒(méi)有偏差（無(wú)偏性）；當(dāng)n?越來(lái)越大時(shí)，X ˉ 的散布程度越來(lái)越小，即用X?ˉ??估計(jì)mu?越來(lái)越準(zhǔn)確。
實(shí)際情況中，總體的分布不總是正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，此時(shí)X?ˉ??的分布也將取決于總體分布情況。——中心極限定理
中心極限定理：設(shè)從均值為μ?、方差為σ?2??（有限）的任意一個(gè)總體總抽取樣本量為n?的樣本，當(dāng)n 充分大時(shí)，樣本均值X?ˉ??的抽樣分布近似服從為均值為μ?、方差為σ?2?/n?的正態(tài)分布。
注意：什么是當(dāng)n充分大呢？大樣本、小樣本之間的區(qū)分并不是以樣本容量大小來(lái)區(qū)分的。在樣本容量固定的條件下所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷、問(wèn)題分析，不管樣本容量有多大，都稱(chēng)為小樣本問(wèn)題，而在樣本容量n—>∞的條件下所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷、問(wèn)題分析則稱(chēng)為大樣本問(wèn)題。一般統(tǒng)計(jì)學(xué)中的n≥30為大樣本，n<30為小樣本只是一直經(jīng)驗(yàn)說(shuō)法。
4 樣本比例的抽樣分布
如果在樣本大小為n的樣本中具有某一特征的個(gè)體數(shù)為X?，則樣本比例用p 表示：p=X/n?
則可以用樣本比例p?來(lái)估計(jì)總體比例π 。
當(dāng)n?充分大時(shí)，p ^ 的分布可用正態(tài)分布去逼近，此時(shí)，p?^??服從均值為π?、方差為π(1?π)n??的正態(tài)分布，則
p?^?～N(π,π(1?π)n?)?
5 兩個(gè)樣本平均值之差的分布
設(shè)X?1??ˉ??是獨(dú)立地抽自總體X?1?～N(μ?1?,σ?2?1?)?的一個(gè)容量為n?1??的樣本的均值，X?2??ˉ??是獨(dú)立地抽自總體X?1?～N(μ?2?,σ?2?2?)?的一個(gè)容量為n?2??的樣本的均值，則有
E(X?1??X?2?)=μ?1??μ?2??
D(X?1??X?2?)=σ?2?1?n?1??+σ?2?2?n?2???
如果兩個(gè)總體均為正態(tài)分布，則X?1??X?2??也為正態(tài)分布；當(dāng)n?1??和n?2??比較大時(shí)，一般要求n1≥30,n2≥30?，則X?1??X?2??的抽樣分布不管總體分布如何均可用正態(tài)分布來(lái)近似。
6 關(guān)于樣本方差的分布
1樣本方差的分布
設(shè)X?1?,X?2?,...,X?n??為來(lái)自正態(tài)分布的樣本，則可以推出：
設(shè)總體分布為N(μ,σ?2?)?的正態(tài)分布，則樣本方差S?2??的分布為：
(n?1)S?2?/σ?2?～χ?2?(n?1)?
2 兩個(gè)樣本方差比的分布
設(shè)X?1?,X?2?,...,X?n?1???為來(lái)自正態(tài)總體N(μ?1?,σ?2?1?)?的一個(gè)樣本，Y?1?,Y?2?,...,Y?n?1???為來(lái)自正態(tài)總體N(μ?2?,σ?2?2?)?的一個(gè)樣本，且X?i??與Y?i??相互獨(dú)立，則
S?2?x?/S?2?y?σ?2?1?/σ?2?2??=S?2?x?/σ?2?1?S?2?y?/σ?2?2??～F(n?1??1,n?2??1)?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的第六章 统计量及其抽样分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
