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前言

在我們的日常生活中，存在大量的具有相關(guān)性的事件，比如大氣壓和海拔高度，海拔越高大氣壓強(qiáng)越小；人的身高和體重，普遍來看越高的人體重也越重。還有一些可能存在相關(guān)性的事件，比如知識(shí)水平越高的人，收入水平越高；市場化的國家經(jīng)濟(jì)越好，則貨幣越強(qiáng)勢，反而全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)，黃金等避險(xiǎn)資產(chǎn)越走強(qiáng)。

如果我們要研究這些事件，找到不同變量之間的關(guān)系，我們就會(huì)用到回歸分析。一元線性回歸分析是處理兩個(gè)變量之間關(guān)系的最簡單模型，是兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。讓我們一起發(fā)現(xiàn)生活中的規(guī)律吧。

由于本文為非統(tǒng)計(jì)的專業(yè)文章，所以當(dāng)出現(xiàn)與教課書不符的描述，請(qǐng)以教課書為準(zhǔn)。本文力求用簡化的語言，來介紹一元線性回歸的知識(shí)，同時(shí)配合R語言的實(shí)現(xiàn)。

目錄

一元線性回歸介紹
數(shù)據(jù)集和數(shù)學(xué)模型
回歸參數(shù)估計(jì)
回歸方程的顯著性檢驗(yàn)
殘差分析和異常點(diǎn)檢測
模型預(yù)測

1. 一元線性回歸介紹

回歸分析（Regression Analysis)是用來確定2個(gè)或2個(gè)以上變量間關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。如果回歸分析中，只包括一個(gè)自變量X和一個(gè)因變量Y時(shí)，且它們的關(guān)系是線性的，那么這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。

回歸分析屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本模型，涉及統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)，就會(huì)有一大堆的名詞和知識(shí)點(diǎn)需要介紹。

在回歸分析中，變量有2類：因變量 和 自變量。因變量通常是指實(shí)際問題中所關(guān)心的指標(biāo)，用Y表示。而自變量是影響因變量取值的一個(gè)變量，用X表示，如果有多個(gè)自變量則表示為X1, X2, …, Xn。

回歸分析研究的主要步驟：

確定因變量Y 與 自變量X1, X2, …, Xn 之間的定量關(guān)系表達(dá)式，即回歸方程。
對(duì)回歸方程的置信度檢查。
判斷自變量Xn(n=1,2,…,m)對(duì)因變量的影響。
利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測。

本文會(huì)根據(jù)回歸分析的的主要步驟，進(jìn)行結(jié)構(gòu)梳理，介紹一元線性回歸模型的使用方法。

2. 數(shù)據(jù)集和數(shù)學(xué)模型

先讓我們通過一個(gè)例子開始吧，用一組簡單的數(shù)據(jù)來說明一元線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型的原理和公式。找出下面數(shù)據(jù)集中Y與X的定量關(guān)系。

數(shù)據(jù)集為2016年3月1日，白天開盤的交易數(shù)據(jù)，為鋅的2個(gè)期貨合約的分鐘線的價(jià)格數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)集包括有3列，索引列為時(shí)間，zn1.Close為ZN1604合約的1分鐘線的報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)，zn2.Close為ZN1605合約的1分鐘線的報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)集如下：

                    zn1.Close zn2.Close
2016-03-01 09:01:00     14075     14145
2016-03-01 09:02:00     14095     14160
2016-03-01 09:03:00     14095     14160
2016-03-01 09:04:00     14095     14165
2016-03-01 09:05:00     14120     14190
2016-03-01 09:06:00     14115     14180
2016-03-01 09:07:00     14110     14170
2016-03-01 09:08:00     14110     14175
2016-03-01 09:09:00     14105     14170
2016-03-01 09:10:00     14105     14170
2016-03-01 09:11:00     14120     14180
2016-03-01 09:12:00     14105     14170
2016-03-01 09:13:00     14105     14170
2016-03-01 09:14:00     14110     14175
2016-03-01 09:15:00     14105     14175
2016-03-01 09:16:00     14120     14185
2016-03-01 09:17:00     14125     14190
2016-03-01 09:18:00     14115     14185
2016-03-01 09:19:00     14135     14195
2016-03-01 09:20:00     14125     14190
2016-03-01 09:21:00     14135     14205
2016-03-01 09:22:00     14140     14210
2016-03-01 09:23:00     14140     14200
2016-03-01 09:24:00     14135     14205
2016-03-01 09:25:00     14140     14205
2016-03-01 09:26:00     14135     14205
2016-03-01 09:27:00     14130     14205

我們以zn1.Close列的價(jià)格為X，zn2.Close列的價(jià)格為Y，那么試試找到自變量X和因變量Y的關(guān)系的表達(dá)式。

為了直觀起見，我們可以先畫出一張散點(diǎn)圖，以X為橫坐標(biāo)，Y為縱坐標(biāo)，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)X和一個(gè)Y。

# 數(shù)據(jù)集已存在df變量中
> head(df)
                    zn1.Close zn2.Close
2016-03-01 09:01:00     14075     14145
2016-03-01 09:02:00     14095     14160
2016-03-01 09:03:00     14095     14160
2016-03-01 09:04:00     14095     14165
2016-03-01 09:05:00     14120     14190
2016-03-01 09:06:00     14115     14180

# 分別給x,y賦值
> x<-as.numeric(df[,1])
> y<-as.numeric(df[,2])

# 畫圖
> plot(y~x+1)

從散點(diǎn)圖上發(fā)現(xiàn) X和Y 的排列基本是在一條直線附近，那么我們可以假設(shè)X和Y的關(guān)系是線性，可以用公式表式為。

Y = a + b * X + c

Y，為因變量
X，為自變量
a，為截距
b，為自變量系數(shù)
a+b*X, 表示Y隨X的變化而線性變化的部分
c, 為殘差或隨機(jī)誤差，是其他一切不確定因素影響的總和，其值不可觀測。假定c是符合均值為0方差為σ^2的正態(tài)分布 ，記作c~N(0,σ^2)

對(duì)于上面的公式，稱函數(shù)f(X) = a + b * X 為一元線性回歸函數(shù)，a為回歸常數(shù)，b為回歸系數(shù)，統(tǒng)稱回歸參數(shù)。X 為回歸自變量或回歸因子，Y 為回歸因變量或響應(yīng)變量。如果(X1,Y1)，(X2,Y2)…(Xn,Yn)是(X,Y)的一組觀測值，則一元線性回歸模型可表示為

Yi = a + b * X + ci，     i= 1,2,...n

其中E(ci)=0, var(ci)=σ^2, i=1,2,...n

通過對(duì)一元線性回歸模型的數(shù)學(xué)定義，接下來讓我們利用數(shù)據(jù)集做回歸模型的參數(shù)估計(jì)。

3. 回歸參數(shù)估計(jì)

對(duì)于上面的公式，回歸參數(shù)a,b是我們不知道的，我們需要用參數(shù)估計(jì)的方法來計(jì)算出a,b的值，而從得到數(shù)據(jù)集的X和Y的定量關(guān)系。我們的目標(biāo)是要計(jì)算出一條直線，使直接線上每個(gè)點(diǎn)的Y值和實(shí)際數(shù)據(jù)的Y值之差的平方和最小，即（Y1實(shí)際-Y1預(yù)測）^2+（Y2實(shí)際-Y2預(yù)測）^2+ …… +（Yn實(shí)際-Yn預(yù)測）^2 的值最小。參數(shù)估計(jì)時(shí)，我們只考慮Y隨X的線性變化的部分，而殘差c是不可觀測的，參數(shù)估計(jì)法并不需要考慮殘差，對(duì)于殘差的分析在后文中介紹。

令公式變形為a和b的函數(shù)Q(a,b), 即 (Y實(shí)際-Y測試)的平方和，變成到(Y實(shí)際 – (a+b*X))的平方和。

公式一 回歸參數(shù)變形公式

通過最小二乘估計(jì)推導(dǎo)出a和b的求解公式，詳細(xì)的推導(dǎo)過程請(qǐng)參考文章一元線性回歸的細(xì)節(jié)

公式二 回歸參數(shù)計(jì)算公式

其中 x和y的均值，計(jì)算方法如下

公式三 均值計(jì)算公式

有了這個(gè)公式，我們就可以求出a和b兩個(gè)的回歸參數(shù)的解了。

接下來，我們用R語言來實(shí)現(xiàn)對(duì)上面數(shù)據(jù)的回歸模型的參數(shù)估計(jì)，R語言中可以用lm()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)一元線性回歸的建模過程。

# 建立線性回歸模型
> lm.ab<-lm(y ~ 1+x)

# 打印參數(shù)估計(jì)的結(jié)果
> lm.ab

Call:
lm(formula = y ~ 1 + x)

Coefficients:
(Intercept)            x  
   -349.493        1.029  

如果你想動(dòng)手來計(jì)算也可以自己實(shí)現(xiàn)公式。

# x均值
> Xm<-mean(x);Xm 
[1] 14034.82

# y均值
> Ym<-mean(y);Ym
[1] 14096.76

# 計(jì)算回歸系數(shù)
> b <- sum((x-Xm)*(y-Ym)) / sum((x-Xm)^2) ;b
[1] 1.029315

# 計(jì)算回歸常數(shù)
> a <- Ym - b * Xm;a
[1] -349.493

回歸參數(shù)a和b的計(jì)算結(jié)果，與lm()函數(shù)的計(jì)算結(jié)果是相同的。有了a和b的值，我們就可以畫出這條近似的直接線。

計(jì)算公式為：Y= a + b * X = -349.493 + 1.029315 * X

畫出回歸線。

> plot(y~x+1)
> abline(lm.ab)

這條直線是我們用數(shù)據(jù)擬合出來的，是一個(gè)近似的值。我們看到有些點(diǎn)在線上，有些點(diǎn)不在線上。那么要評(píng)價(jià)這條回歸線擬合的好壞，我們就需要對(duì)回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

4. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

從回歸參數(shù)的公式二可知，在計(jì)算過程中并不一定要知道Y和X是否有線性相關(guān)的關(guān)系。如果不存相關(guān)關(guān)系，那么回歸方程就沒有任何意義了，如果Y和X是有相關(guān)關(guān)系的，即Y會(huì)隨著X的變化而線性變化，這個(gè)時(shí)候一元線性回歸方程才有意義。所以，我們需要用假設(shè)檢驗(yàn)的方法，來驗(yàn)證相關(guān)性的有效性。

通常會(huì)采用三種顯著性檢驗(yàn)的方法。

T檢驗(yàn)法：T檢驗(yàn)是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍硞€(gè)自變量Xi對(duì)于Y的顯著性，通常用P-value判斷顯著性，小于0.01更小時(shí)說明這個(gè)自變量Xi與Y相關(guān)關(guān)系顯著。
F檢驗(yàn)法：F檢驗(yàn)用于對(duì)所有的自變量X在整體上看對(duì)于Y的線性顯著性，也是用P-value判斷顯著性，小于0.01更小時(shí)說明整體上自變量與Y相關(guān)關(guān)系顯著。
R^2(R平方)相關(guān)系統(tǒng)檢驗(yàn)法：用來判斷回歸方程的擬合程度，R^2的取值在0，1之間，越接近1說明擬合程度越好。

在R語言中，上面列出的三種檢驗(yàn)的方法都已被實(shí)現(xiàn)，我們只需要把結(jié)果解讀。上文中，我們已經(jīng)通過lm()函數(shù)構(gòu)建一元線性回歸模型，然后可以summary()函數(shù)來提取模型的計(jì)算結(jié)果。

> summary(lm.ab)      # 計(jì)算結(jié)果
Call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-11.9385  -2.2317  -0.1797   3.3546  10.2766 
Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -3.495e+02  7.173e+01  -4.872 2.09e-06 ***
x            1.029e+00  5.111e-03 201.390  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 4.232 on 223 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9945,	Adjusted R-squared:  0.9945 
F-statistic: 4.056e+04 on 1 and 223 DF,  p-value: < 2.2e-16

模型解讀：

Call，列出了回歸模型的公式。
Residuals，列出了殘差的最小值點(diǎn)，1/4分位點(diǎn)，中位數(shù)點(diǎn)，3/4分位點(diǎn)，最大值點(diǎn)。
Coefficients，表示參數(shù)估計(jì)的計(jì)算結(jié)果。
Estimate，為參數(shù)估計(jì)列。Intercept行表示常數(shù)參數(shù)a的估計(jì)值 ，x行表示自變量x的參數(shù)b的估計(jì)值。
Std. Error，為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，sd(a), sd(b)
t value，為t值，為T檢驗(yàn)的值
Pr(>|t|) ，表示P-value值，用于T檢驗(yàn)判定，匹配顯著性標(biāo)記
顯著性標(biāo)記，***為非常顯著，**為高度顯著, **為顯著，·為不太顯著，沒有記號(hào)為不顯著。
Residual standard error，表示殘差的標(biāo)準(zhǔn)差，自由度為n-2。
Multiple R-squared，為相關(guān)系數(shù)R^2的檢驗(yàn)，越接近1則越顯著。
Adjusted R-squared，為相關(guān)系數(shù)的修正系數(shù)，解決多元回歸自變量越多，判定系數(shù)R^2越大的問題。
F-statistic，表示F統(tǒng)計(jì)量，自由度為(1,n-2)，p-value:用于F檢驗(yàn)判定，匹配顯著性標(biāo)記。

通過查看模型的結(jié)果數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)通過T檢驗(yàn)的截距和自變量x都是非常顯著，通過F檢驗(yàn)判斷出整個(gè)模型的自變量是非常顯著，同時(shí)R^2的相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)可以判斷自變量和因變量是高度相關(guān)的。

最后，我們通過的回歸參數(shù)的檢驗(yàn)與回歸方程的檢驗(yàn)，得到最后一元線性回歸方程為：

Y = -349.493 + 1.029315 * X 

5. 殘差分析和異常點(diǎn)檢測

在得到的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)后，還要在做殘差分析(預(yù)測值和實(shí)際值之間的差)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，殘差必須服從正態(tài)分布N(0,σ^2)。

我們可以自己計(jì)算數(shù)據(jù)殘差，并進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。

# 殘差
> y.res<-residuals(lm.ab)

# 打印前6條數(shù)據(jù)
> head(y.res)
        1         2         3         4         5         6 
6.8888680 1.3025744 1.3025744 6.3025744 5.5697074 0.7162808 

# 正態(tài)分布檢驗(yàn)
> shapiro.test(y.res)
Shapiro-Wilk normality test
data:  y.res
W = 0.98987, p-value = 0.1164

# 畫出殘差散點(diǎn)圖
> plot(y.res)

對(duì)殘差進(jìn)行Shapiro-Wilk正態(tài)分布檢驗(yàn)，W接近1，p-value>0.05，證明數(shù)據(jù)集符合正態(tài)分布！關(guān)于正態(tài)分布的介紹，請(qǐng)參考文章常用連續(xù)型分布介紹及R語言實(shí)現(xiàn)。

同時(shí)，我們也可以用R語言的工具生成4種用于模型診斷的圖形，簡化自己寫代碼計(jì)算的操作。

# 畫圖，回車展示下一張
> plot(lm.ab)    
Hit  to see next plot:   # 殘差擬合圖
Hit  to see next plot:   # 殘差QQ圖
Hit  to see next plot:   # 標(biāo)準(zhǔn)化的殘差對(duì)擬合值 
Hit  to see next plot:   # 標(biāo)準(zhǔn)化殘差對(duì)杠桿值

圖1，殘差和擬合值對(duì)比圖

對(duì)殘差和擬合值作圖，橫坐標(biāo)是擬合值，縱坐標(biāo)是殘差。殘差和擬合值之間，數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在y=0兩側(cè)，呈現(xiàn)出隨機(jī)的分布，紅色線呈現(xiàn)出一條平穩(wěn)的曲線并沒有明顯的形狀特征，說明殘差數(shù)據(jù)表現(xiàn)非常好。

圖2，殘差QQ圖

殘差QQ圖，用來描述殘差是否符合正態(tài)分布。圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)按對(duì)角直線排列，趨于一條直線，并被對(duì)角直接穿過，直觀上符合正態(tài)分布。對(duì)于近似服從正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化殘差，應(yīng)該有 95% 的樣本點(diǎn)落在 [-2,2] 區(qū)間內(nèi)。

圖3，標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方根和擬合值對(duì)比圖

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方根和擬合值作圖，橫坐標(biāo)是擬合值，縱坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)化后的殘差平方根。與殘差和擬合值對(duì)比圖(圖1)的判斷方法類似，數(shù)據(jù)隨機(jī)分布，紅色線呈現(xiàn)出一條平穩(wěn)的曲線，無明顯的形狀特征。

圖4，標(biāo)準(zhǔn)殘差和杠桿值對(duì)比圖

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化殘差和杠桿值作圖，虛線表示的cooks距離等高線，通常用Cook距離度量的回歸影響點(diǎn)。本圖中沒有出現(xiàn)紅色的等高線，則說明數(shù)據(jù)中沒有特別影響回歸結(jié)果的異常點(diǎn)。

如果想把把4張圖畫在一起進(jìn)行展示，可以改變畫布布局。

> par(mfrow=c(2,2))
> plot(lm.ab)

看到上面4幅中，每幅圖上都有一些點(diǎn)被特別的標(biāo)記出來了，這些點(diǎn)是可能存在的異常值點(diǎn)，如果要對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化，我們可以從這些來入手。但終于本次殘差分析的結(jié)果已經(jīng)很好了，所以對(duì)于異常點(diǎn)的優(yōu)化，可能并不能明顯的提升模型的效果。

從圖中發(fā)現(xiàn)，索引編號(hào)為27和192的2個(gè)點(diǎn)在多幅圖中出現(xiàn)。我們假設(shè)這2個(gè)點(diǎn)為異常點(diǎn)，從數(shù)據(jù)中去掉這2個(gè)點(diǎn)，再進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)和殘差分析。

# 查看27和192
> df[c(27,192),]
                    zn1.Close zn2.Close
2016-03-01 09:27:00     14130     14205
2016-03-01 14:27:00     14035     14085

# 新建數(shù)據(jù)集，去掉27和192
> df2<-df[-c(27,192),]

回歸建模和顯著性檢驗(yàn)。

> x2<-as.numeric(df2[,1])
> y2<-as.numeric(df2[,2])
> lm.ab2<-lm(y2 ~ 1+x2)
> summary(lm.ab2)

Call:
lm(formula = y2 ~ 1 + x2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-9.0356 -2.1542 -0.2727  3.3336  9.5879 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -3.293e+02  7.024e+01  -4.688 4.83e-06 ***
x2           1.028e+00  5.004e-03 205.391  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 4.117 on 221 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9948,	Adjusted R-squared:  0.9948 
F-statistic: 4.219e+04 on 1 and 221 DF,  p-value: < 2.2e-16

對(duì)比這次的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果和之前結(jié)果，T檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn) 和 R^2檢驗(yàn)，并沒有明顯的效果提升，結(jié)果和我預(yù)想的是一樣的。所以，通過殘差分析和異常點(diǎn)分析，我認(rèn)為模型是有效的。

6. 模型預(yù)測

最后，我們獲得了一元線性回歸方程的公式，就可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測了。比如，對(duì)給定X=x0時(shí)，計(jì)算出y0=a+b*x0的值，并計(jì)算出置信度為1-α的預(yù)測區(qū)間。

當(dāng)X=x0,Y=y0時(shí)，置信度為1-α的預(yù)測區(qū)間為

即

我們可以用R語言的predict()函數(shù)來計(jì)算預(yù)測值y0，和相應(yīng)的預(yù)測區(qū)間。程序算法如下。

> new<-data.frame(x=14040)
> lm.pred<-predict(lm.sol,new,interval="prediction",level=0.95)

# 預(yù)測結(jié)果
> lm.pred
       fit      lwr      upr
1 14102.09 14093.73 14110.44

當(dāng)x0=14040時(shí)，在預(yù)測區(qū)間為0.95的概率時(shí)，y0的值為 14102，預(yù)測區(qū)間為[14093.73,14110.44]。

我們通過圖形來表示。

> plot(y~x+1)
> abline(lm.ab,col='red')
> points(rep(newX$x,3),y=lm.pred,pch=19,col=c('red','blue','green'))

其中，紅色點(diǎn)為y0的值，藍(lán)色點(diǎn)為預(yù)測區(qū)間最小值，綠色點(diǎn)為預(yù)測區(qū)間最大值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的R语言解读一元线性回归模型的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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