1. 卡爾曼濾波理論回顧

? ? ? 對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，我們首先定義一組狀態(tài)空間方程

? ? ?狀態(tài)方程：? ? ?

? ? ?測量方程： ? ???

? ? ? ? x_k是狀態(tài)向量，z_k是測量向量，A_k是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，u_k是控制向量，B_k是控制矩陣，w_k是系統(tǒng)誤差（噪聲），H_k是測量矩陣，v_k是測量誤差（噪聲）。w_k和v_k都是高斯噪聲，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 整個(gè)卡爾曼濾波的過程就是個(gè)遞推計(jì)算的過程，不斷的“預(yù)測——更新——預(yù)測——更新……”

預(yù)測

? ? ?預(yù)測狀態(tài)值： ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?預(yù)測最小均方誤差： ??

更新

? ? 測量誤差： ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? 測量協(xié)方差： ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 最優(yōu)卡爾曼增益： ? ? ? ??

? ? 修正狀態(tài)值： ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 修正最小均方誤差： ? ??

算法的核心思想是，根據(jù)當(dāng)前的儀器"測量值" 和上一刻的 "預(yù)測量" 和 "誤差",計(jì)算得到當(dāng)前的最優(yōu)量. ? 再?預(yù)測下一刻的量，?里面比較突出的是觀點(diǎn)是.?把誤差納入計(jì)算, 而且分為預(yù)測誤差和測量誤差兩種.通稱為 噪聲。還有一個(gè)非常大的特點(diǎn)是,誤差獨(dú)立存在,?始終不受測量數(shù)據(jù)的影響。

2. 例子

上面的ppt有助于入門理解。

但是在編程的時(shí)候你會(huì)發(fā)現(xiàn),解釋里面的數(shù)值23 沒有很明確的指出，是指的那個(gè)時(shí)刻的23 是預(yù)測的23 還是上一課測量的23。

下面這段文字會(huì)有助于你更清晰的理解：

?

卡爾曼濾波是統(tǒng)計(jì)學(xué)的程序表達(dá)，要想深入理解，公式三 協(xié)方差的背后意義 需要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)。

如果僅僅是使用的話，這5個(gè)公式套進(jìn)程序里面還是很容易的。

看到這里如果你明白了原理，你再回過頭看看，會(huì)發(fā)現(xiàn)，誤差是獨(dú)立存在的，誤差不受數(shù)據(jù)的影響。誤差按照統(tǒng)計(jì)學(xué)的協(xié)方差公式更新，跟數(shù)據(jù)無關(guān)。而且誤差是不斷變化的。

3. 通俗理解

? ? 假設(shè)你有兩個(gè)傳感器，測的是同一個(gè)信號(hào)。可是它們每次的讀數(shù)都不太一樣，怎么辦？取平均。再假設(shè)你知道其中貴的那個(gè)傳感器應(yīng)該準(zhǔn)一些，便宜的那個(gè)應(yīng)該差一些。那有比取平均更好的辦法嗎？加權(quán)平均。怎么加權(quán)？假設(shè)兩個(gè)傳感器的誤差都符合正態(tài)分布，假設(shè)你知道這兩個(gè)正態(tài)分布的方差，用這兩個(gè)方差值，（此處省略若干數(shù)學(xué)公式），你可以得到一個(gè)“最優(yōu)”的權(quán)重。接下來，重點(diǎn)來了：假設(shè)你只有一個(gè)傳感器，但是你還有一個(gè)數(shù)學(xué)模型。模型可以幫你算出一個(gè)值，但也不是那么準(zhǔn)。怎么辦？把模型算出來的值，和傳感器測出的值，（就像兩個(gè)傳感器那樣），取加權(quán)平均。OK，最后一點(diǎn)說明：你的模型其實(shí)只是一個(gè)步長的，也就是說，知道x(k)，我可以求x(k+1)。問題是x(k)是多少呢？答案：x(k)就是你上一步卡爾曼濾波得到的、所謂加權(quán)平均之后的那個(gè)、對(duì)x在k時(shí)刻的最佳估計(jì)值。于是迭代也有了。這就是卡爾曼濾波。

? ? 卡爾曼濾波（Kalman filter）是一種高效率的遞歸濾波器（自回歸濾波器），它能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。卡爾曼濾波會(huì)根據(jù)各測量量在不同時(shí)間下的值，考慮各時(shí)間下的聯(lián)合分布，再產(chǎn)生對(duì)未知變數(shù)的估計(jì)，因此會(huì)以只以單一測量量為基礎(chǔ)的估計(jì)方式要準(zhǔn)。

? ??卡爾曼濾波的算法是二步驟的程序。在估計(jì)步驟中，卡爾曼濾波會(huì)產(chǎn)生有關(guān)目前狀態(tài)的估計(jì)，其中也包括不確定性。只要觀察到下一個(gè)量測（其中一定含有某種程度的誤差，包括隨機(jī)噪聲）。會(huì)通過加權(quán)平均來更新估計(jì)值，而確定性越高的量測加權(quán)比重也越高。算法是迭代的，可以在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)中執(zhí)行，只需要目前的輸入量測、以往的計(jì)算值以及其不確定性矩陣，不需要其他以往的資訊。

? ? 使用卡爾曼濾波不用假設(shè)誤差是正態(tài)分布^[3]，不過若所有的誤差都是正態(tài)分布，卡爾曼濾波可以得到正確的條件機(jī)率估計(jì)。也發(fā)展了一些擴(kuò)展或是廣義的卡爾曼濾波，例如運(yùn)作在非線性糸統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波及無損卡爾曼濾波（unscented Kalman filter）。底層的模型類似隱馬爾可夫模型，不過潛在變量的狀態(tài)空間是連續(xù)的，而且所有潛在變量及可觀測變數(shù)都是正態(tài)分布。

? ? 卡爾曼濾波的一個(gè)典型實(shí)例是從一組有限的，包含噪聲的，通過對(duì)物體位置的觀察序列（可能有偏差）預(yù)測出物體的位置的坐標(biāo)及速度。在很多工程應(yīng)用（如雷達(dá)、計(jì)算機(jī)視覺）中都可以找到它的身影。同時(shí)，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個(gè)重要課題。例如，對(duì)于雷達(dá)來說，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標(biāo)。但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時(shí)候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息，設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。這個(gè)估計(jì)可以是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(jì)（濾波），也可以是對(duì)于將來位置的估計(jì)（預(yù)測），也可以是對(duì)過去位置的估計(jì)（插值或平滑）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的对Kalman Filter的理解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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