1. 題目描述

路徑 被定義為一條從樹中任意節點出發，沿父節點-子節點連接，達到任意節點的序列。同一個節點在一條路徑序列中 至多出現一次 。該路徑 至少包含一個 節點，且不一定經過根節點。

路徑和 是路徑中各節點值的總和。

給你一個二叉樹的根節點 root ，返回其 最大路徑和 。

2. 思路

對于任意一個節點, 如果最大和路徑包含該節點, 那么只可能是兩種情況:

? ? 1. 其左右子樹中所構成的和路徑值較大的那個（如果左子樹或右子樹構成的最大路徑和為負數，則置為零，表示最大路徑不經過這個子樹）加上該節點的值后向父節點回溯構成最大路徑，也可能沒有左右子樹，只有該節點的值往前回溯。
? ? 2. 左右子樹都在最大路徑中, 加上該節點的值構成了最終的最大路徑。即，該節點是最大路徑的根節點。

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遞歸時，將每個結點作為一個根結點傳入遞歸函數。對于當前的這個結點，以它為根結點，計算它左子樹路徑的最大和，右子樹路徑的最大和。通過這個結點，當前是看做是以它根結點，這個結點的最大路徑和就是：左子樹最大路徑和（大于0的話）+右子樹最大路徑和（大于0的話）+根結點的值。然后更新當前計算的MAX是多少，也就是我們的結果。

遞歸函數的返回值是：當前這個結點的左子樹最大路徑和，或者是右子樹最大路徑和。再加上結點值。因為，這樣得到的一條最大路徑，就可以作為這個結點的父節點的一條路徑，用于父節點的計算。

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我們首先考慮什么樣的路徑可以是最大路徑，根據題意，只要是一個結點到另一結點即可。那么我們可以分成兩種：

• 單向路徑，即路徑中所有的結點都不在同一層，比如示例2中的-10→20→7。

• 雙向路徑，路徑中，以根節點為最高層，左右兩個單路徑向兩邊延伸，比如示例二中的答案15←20→7。

我們考慮以每一個結點為根，可以構成的最大單向路徑和maxgain為多少，葉節點的maxgain就為它本身的值，其他結點的maxgain則為它自己的值與它左右結點中較大的maxgain之和。

如示例2中，首先15和7的maxgain為本身，然后20的maxgain為20+max(15,7)=35，然后9的maxgain為本身，-10的maxgain為-10+max(9,35)=25。

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我們再考慮答案與maxgain的關系，如果以某個點node為路徑的根。

• 雙向路徑的和為? ? node.val+maxgain(node.left)+maxgain(node,right)
• 單向路徑為? node.val+maxgain(node.left) 或 node.val+maxgain(node.right)

我們要找到這個結點為根的最大路徑和，那么就是上面三個式子的最大值，而只有在左結點或右結點的maxgain<0，答案才會是下面的式子，所以我們首先判斷左右結點的maxgain是不是小于0，如果小于0，置為0，這樣就都可以使用上面的式子來表示了。

由于計算路徑和的時候，所需的值都是這個節點以及下一層的值，所以在遍歷計算maxgain的同一個遞歸即可完成，只要使用一個全局變量更新結果即可。

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注意：最長的路徑肯定是屬于“從一端的最左側到這端的最右側” 這個完整鏈條的一部分。

3 Python 代碼

# Definition for a binary tree node. # class TreeNode: # def __init__(self, x): # self.val = x # self.left = None # self.right = Noneclass Solution:def __init__(self): # 定義一個result屬性self.result = float("-inf")def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:if root == None:return 0self.getMax(root)return self.resultdef getMax(self,root): # 定義一個輔助函數if root == None: # 如果當前節點為空就表示包含當前節點的最大路徑為0return 0# 遞歸的計算當前節點的左子樹和右子樹能提供的最大路徑和，如果為負，就置為零（相當于從頭開始）left = max(0,self.getMax(root.left)) right = max(0,self.getMax(root.right))# 注意：最長的路徑肯定是屬于從一端的最左側到這端的最右側的一部分# 每計算一次左右子樹的最大值，就更新當前的resultself.result = max(self.result,left + right + root.val)# 往父節點回溯的話，最大路徑就不能同時包含左右兩個子樹，# 因此需要用左右子樹較大的那個子樹加上當前節點的值進行回溯return max(left,right) + root.val #（遞歸函數，返回的是回溯需要的式子，而不是返回最終結果（比如這里的 return result））

回溯往往可以用遞歸來進行實現，當運用遞歸函數的時候，return的不是函數實現的結果
而是回溯到上層所需要的式子（大部分最終結果和回溯返回所需要的式子是相同的），可能不是這個函數所要實現的最終功能。回溯所需要的式子，以這個題目為例，在定義getMax函數的時候，我們返回的是max（left,right）+ root.val，因為從當前節點回溯到上層父節點的話，需要給上層節點提供由當前節點和某一子樹所構成的最大路徑和。而最終的結果result是在遞歸的過程中不斷地更新沒有作為函數的return。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的[二叉树] 二叉树中的最大路径和---leetcode124的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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