一、預備知識（補碼，反碼）

計算機通過二進制表示整形數，比如int型32位有符號整形數：
1表示為：0000…00001(共32位）
-1表示為：1111…1111(共32位）
補碼計算法定義：非負數的補碼是其原碼本身；
負數的補碼是其絕對值的原碼最高位符號位不變，其它位取反，再加1。
表示原因：計算機邏輯運算沒有減法，-1+1最高為溢出，剩余0000000000（32位）即為0；
則有a-b=a+b的（補碼）；
計算方式：
-1表示原碼為100…0001(32位），最高位位符號位。
-1的反碼表示為：1111…110(32位），除符號位按位取反。
-1的補碼表示為：1111…1111(32位），反碼+1。
正數的補碼為自己本身。
例子：
100的補碼?00000000000000000001100100?
-30的補碼 11111111111111111111111100010?
100+（-30）=000000000000000000?01000110?
轉換成10進制為70；

二、基本操作

1、按位與(&)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行與運算。只有當相應位上的數都是1時，該位才取1，否則該為為0。

將10與-10進行按位與(&)運算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

0000 0000 0000 0010

所以：10 & -10 = 0000 0000 0000 0010
2、按位或(|)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行或運算。只要相應位上存在1，那么該位就取1，均不為1，即為0。

將10與-10進行按位或(|)運算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

1111 1111 1111 1110

所以：10 | -10 = 1111 1111 1111 1110
3、按位異或(^)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行異或運算。只有當相應位上的數字不相同時，該為才取1，若相同，即為0。

將10與-10進行按位異或(^)運算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0110

1111 1111 1111 1100

所以：10 ^ -10 = 1111 1111 1111 1100
可以看出，任何數與0異或，結果都是其本身。利用異或還可以實現一個很好的交換算法，用于交換兩個數，算法如下：

a = a ^ b;
b = b ^ a;
a = a ^ b;

4、取反(~)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行取反運算。每個位上都取相反值，1變成0，0變成1。
對10進行取反(~)運算：

0000 0000 0000 1010

1111 1111 1111 0101

所以：~10 = 1111 1111 1111 0101
5、左移(<<)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行左移運算，用來將一個數各二進制位全部向左移動若干位。

對10左移2位(就相當于在右邊加2個0)：

0000 0000 0000 1010

0000 0000 0010 1000

所以：10 << 2 = 0000 0000 0010 1000 = 40
注意，觀察可以發現，左移一位的結果就是原值乘2，左移兩位的結果就是原值乘4。

6、右移(>>)

參加運算的兩個數，換算為二進制(0、1)后，進行右移運算，用來將一個數各二進制位全部向右移動若干位。

對10右移2位(就相當于在左邊加2個0)：

0000 0000 0000 1010

0000 0000 0000 0010

所以：10 >> 2 = 0000 0000 0000 0010 = 2
注意，觀察可以發現，右移一位的結果就是原值除2，左移兩位的結果就是原值除4，注意哦，除了以后沒有小數位的，都是取整。

三、延伸操作

1.快速冪（快速模冪）
①求a^b:

int pow(int a, int k) { int ans = 1;while(k) {if(k &1) ans *= a; //判斷奇偶只用判斷最后一位比取模快a *= a;k >>=1; //比除法快多了}return ans; }

②求a^b%p

int pow_mod(int a, int k,int mod) { int ans = 1%mod;while(k) {if(k &1) ans =(long long) ans*a%mod; //防止在對P取模前溢出a = (long long)a*a%mod;k >>=1; //比除法快多了}return ans;}

例題：BZOJ1008
2.快速乘法
方法①

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {long long ans=0;while(b){if(b&1) ans=(ans+a)%mod;a=(a+a)%mod; //（計算機加法比乘法快，a+a比a*2快）b>>=1;}return ans; }

方法②：高效算法

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {a%=mod;b%=mod;long long ans=0;while(b){if(b&1){ans+=a;if(ans>=mod)ans-=mod;}b>>=1;a<<=1;if(a>=mod) a-=mod;}return ans; }

方法③：使用long double優化版

long long quickMul(long long a,long long b,long long mod) {a%=mod;b%=mod;long long c=(long double) a*b/mod;long long ans=a*b-c*mod;if(ans<0) ans+=mod;else if(ans>=mod) ans-=mod;return ans}

在這里僅提到部分操作，在ACM學習中，還有更多的操作可以用位運算。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的疯子的算法总结(一) 位运算（快速幂、快速乘）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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