定理：

1.設G為無向圖，設矩陣D為圖G的度矩陣，設C為圖G的鄰接矩陣。

2.對于矩陣D，D[i][j]當 i!=j 時，是一條邊，對于一條邊而言無度可言為0，當i==j時表示一點，代表點i的度。

即：

??

3.對于矩陣C而言，C表示兩點之間是否存在邊，當i==j時為一點無邊可言為0，即：

4.定義基爾霍夫矩陣J為度數矩陣D-鄰接矩陣C，即J=D-C;

5.G圖生成樹的數量為任意矩陣J的N-1階主子式的行列式的絕對值。

證明：

偽證明，不是證明基爾霍夫定理，而是講一下原理，證明超過我們所需要使用的范疇。

首先明確一點就是若圖G是一顆樹，他的基爾霍夫矩陣的N-1階行列式的值1；因為是一棵樹，所以不含有環，且兩點之間就只有一條邊相連，任意列任意行只有1，且度數矩陣與之對應密切，一個點的度數只和自己的變數有關，且不與其他邊相連，度數和為2*N，邊數為N,且能通過高斯消元化為上三角行列式，即討論J矩陣中能夠構成多少個該子樹，即為求矩陣N-1階主子式的行列式，注意任意一個圖的J基爾霍夫矩陣的行列式值都為0；

實現方式：

就是求這個行列，行列式求得方法是高斯消元，其實就是將行列式化為上三角行列式，這個那份線性代數里講的挺清楚的，不要被名字嚇到。

bool zero(double a) {return a>-eps && a<eps; } double Gauss() {double mul,Result=1;int i,j,k,b[n];for(i=0;i<n;i++) b[i]=i;for(i=0;i<n;i++){if(zero(a[b[i]][i]))for(j=i+1;j<n;j++)if(!zero(a[b[j]][i])) { swap(b[i],b[j]); Result*=-1; break; }Result*=a[b[i]][i];for(j=i+1;j<n;j++)if(!zero(a[b[j]][i])){mul=a[b[j]][i]/a[b[i]][i];for(k=i;k<n;k++)a[b[j]][k]-=a[b[i]][k]*mul;}}return Result; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的疯子的算法总结(九) 图论中的矩阵应用 Part 2 矩阵树 基尔霍夫矩阵定理 生成树计数 Matrix-Tree的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。