尼古拉斯?伊萬諾維奇?羅巴切夫斯基是一個小官吏的第二個兒子，1793 年 11 月 2 日出生在俄國的諾夫哥羅德轄區的馬卡里耶夫地區。1807 年他進了喀山大學。此后，他作為學生、副教授、教授，最后作為校長，在該校度過了他一生中的 40 年時間。

喀山大學領導希望能夠與歐洲大學相匹敵。他們從德國請來了幾位杰出的教授，其中有天文學家利特羅，他后來成為維也納天文臺的臺長。德國教授們很快看出了羅巴切夫斯基的天賦，并且給了他充分的鼓勵。1811 年，羅巴切夫斯基 18 歲時，獲得了碩士學位。兩年后，羅巴切夫斯基 21 歲時擔任了見習 "編外教授"，就是助理教授。

1816 年，23 歲的羅巴切夫斯基晉升為普通教授。他除了數學工作以外，他還要教授天文學和物理課程。不久，羅巴切夫斯基已成為大學圖書館的館長和大學博物館的館長。羅巴切夫斯基在 1827 年被任命為校長。

當政府決定使學校的建筑現代化并增加新的建筑時，羅巴切夫斯基把這件事當做他自己的事情，要做到既把工作做好，又不浪費一分錢。為了使自己能勝任這個任務，他學習了建筑學。他精通了這門學科，而且非常注重實際，因而這些建筑物不僅美觀、實用，而且造價低于所撥給的經費，這在官方建筑史上可算是獨一無二的。若干年后（1842 年），一場災難性的大火毀了半個喀山，也毀了羅巴切夫斯基那些最優美的建筑，包括剛剛建成的天文臺 —— 他引以自豪的得意之作。不過由于他頭腦冷靜，儀器和圖書館得以保存下來。火災之后，他立即著手重建。兩年后，這場災難已不留絲毫痕跡。

1842 年，即發生火災的這一年，也是在高斯的斡旋下，羅巴切夫斯基以他對非歐幾何的創造，被選為哥廷根皇家學會外國通信院士。令人難以置信的是，像羅巴切夫斯基這樣擔負著過分繁重的教學和行政工作的人竟然還能找出時間，創造了全部數學中最偉大的杰作之一，與人類思想的一個里程碑。這項工作他斷斷續續地干了 20 年。他在非歐幾何上的第一次公開通信是在 1826 年。高斯直到 1840 年左右才聽到這項成就。

羅巴切夫斯基的非歐幾何

要了解羅巴切夫斯基所做的工作，我們必須首先看看歐幾里得的突出成就。他的《幾何原本》除了系統記述了初等幾何以外，還包含所有他那個時代已知的數論知識。幾何教育受歐幾里得控制超過了 2200 年。

歐幾里得承認，他的第五公設（平行公設）是一個純粹的假設。第五公設可以用許多等價的形式來陳述，每一種形式都能利用歐幾里得幾何的其余公設，由其他形式推斷出來。也許這些等價的陳述中最簡單的一個是這樣的：

已知任意直線 I 和不在 I 上的一個點 P，那么在由 l 和 P 決定的平面上，可以畫出恰好一條經過 P 點的直線 I'，使得不管 I' 和 l（朝任何一個方向）延長到多遠，它們都不會相交。

我們說在一個平面上的兩條永不相交的直線是平行的。這樣，歐幾里得的第五公設斷言，過 P 點恰好有一條直線平行于 l。歐幾里得對幾何性質透徹的洞察力使他相信，在他那個時代，這個公設沒有從其他公設中推斷出來，盡管有過很多證明這個公設的嘗試。由于歐幾里得本人無法從他的其他公設中推出這個公設，又希望在他的許多定理的證明中用它，于是他就老老實實地把它和他的其他公設放在一起了。

我們已經提到平行公設的那些“等價”的說法。其中的一個，稱為 " 直角假設 "，暗示著兩種可能性，而這兩種可能性都不能與歐幾里得的假設等同，一種是引進羅巴切夫斯基幾何，另一種是引進黎曼幾何。

考慮一個 "看上去像" 矩形的圖形 AXYB，它包含 4 條直線 AX，XY，YB，BA，其中 BA 是底，AX 和 YB 畫成等長且垂直于 AB，并在 AB 的同一邊處。關于這個圖形，應記住的要點是，角 XAB、角 YBA 都是直角，邊 AX、BY 的長度相等。不用平行公設，能夠證明角 AXY、角 BYX 相等，但是，不用這個公設，不可能證明角 AXY 和角 BYX 是直角，雖然它們看上去像直角。如果我們假定平行公設，我們就能證明角 AXY 和角 BYX 是直角，反過來，如果我們假定角 AXY 和 BYX 是直角，我們就能證明平行公設。因此，角 AXY 和 BYX 是直角這個假定等價于平行公設。這個假定今天稱為 "直角假設"。

我們知道，直角假設導致無矛盾的、實用的幾何，事實上應該說，導致了經過革新以滿足邏輯嚴格性的現代標準的歐幾里得幾何。但是這個圖形提供了另外兩種可能性：相等的角 AXY、BYX 都小于直角 ———— 銳角假設；相等的角 AXY、BYX 都大于直角 ——— 鈍角假設。由于任何一個角都滿足等于、小于或大于直角的三種要求之一，而且只滿足其中之一，所以這三個假設 —— 分別為直角假設、銳角假設、鈍角假設。

共同的經驗使我們首先傾向于第一個假設。為了看出其他的假設可能并不像初看上去那樣不合理，我們要考慮一些與歐幾里得想象中的，把圖形畫成高度理想化的“平面”相比，更接近于人類實際經驗的東西。但是我們首先注意到，銳角假設和鈍角假設都不能使我們證明歐幾里得的平行公設，因為正如上面說過的，歐幾里得的公設與直角假設是等價的（在相互推斷的意義上，直角假設對于平行公設的推斷既是必要的又是充分的）。因此，即使我們成功地在兩個新假設之一上構造出了幾何，我們也不會在這些幾何中發現歐幾里得意義上的平行。

為了使其他的假設不像它們初看上去那樣不合理，假定地球是一個完美的球體。畫一個平面穿過這個理想地球的中心，它與地球表面交出一個大圓。假定我們希望在地球表面上從一個點 A 到達另一個點 B 的過程中總是在球面上，并進一步假定我們希望走可能的最短路徑。

上述例子引進了一個重要的定義，即曲面上的測地線的定義。我們剛剛看到，連結地球上兩點的最短距離，它本身是在球面上度量的距離，是連結它們的大圓的一段弧。我們也看到，連結兩個點的最長距離是同一個大圓上的另一段弧，除非這兩點是直徑的兩端，那時最短距離與最長距離相等。我們現在回想在平面上連結兩點的直線段的定義 ——“兩點之間的最短距離”，把這個定義應用到球面上，我們說球面上的大圓相當于平面上的直線。由于希臘文的地球是測地線（geodesic）的第一個音節 ge，我們稱在任意曲面上連結任意兩點的一切極限為曲面的測地線。這樣，在平面上，測地線是歐幾里得的直線；在球面上，測地線是大圓。一條測地線可以看成是一根線在曲面上的兩點之間盡可能繃緊時的位置。

現在，至少在航海中，甚至在考慮中等距離時，就不能把海洋看成是一個平面；而要把它看作是與之非常近似的東西，即一個球面的一部分，大圓航海法的幾何不是歐幾里得幾何，因此歐幾里得幾何不是人類實用的唯一的幾何。在平面上，兩條測地線恰好相交于一個點，除非它們是平行的；但是在球面上，任意兩條測地線總是恰好相交于兩個點。再有，在平面上，任何兩條測地線都不能圍出一個空間；在球面上，任意兩條測地線總是圍成一個空間。

現在想象球面上的赤道和兩條經過北極垂直于赤道的測地線。在北半球、這產生了一個曲邊三角形 WNE，有兩條邊是相等的。這個三角形的每一邊是一段測地線的弧。任意作與兩條等長的邊相交的另一條測地線，使得赤道和這條交線之間截下的兩個部分相等。現在我們在球面上有了相應于我們剛才在平面上有的四邊形 AXYB。這個圖形的底邊的兩個角是直角，并且對應的兩邊相等。但是在 X、Y 處的兩個相等的角現在都大于直角。所以，在大圓航海法的幾何中（它比初等幾何所得到的理想化的圖形更接近于真實的人類經驗），真實的不是歐幾里得的公設，而是由鈍角假設得到的幾何。

以同樣的方式，觀察一個較不熟悉的曲面，我們能使銳角假設成為合理的。這個曲面看上去像大的一端焊在一起的兩個無限長的喇叭。

為了更精確地描述它，我們必須介紹稱為曳物線的平面曲線，它是這樣生成的：在一個平面上畫兩條直線 XOX'，YOY'，在 0 點處相交成直角。想象沿著 YOY 有一根不可拉長的纖維，在它的一端綁著一個很重的小球；纖維的另一端在 0 點。沿著直線 OX 將這一端往外拉。由于小球跟著運動，它就畫出了曳物線的一半；另一半由沿著 OX' 拉動纖維的這一端畫出來，當然它只是前一半在 OY 上的反射或鏡像。假定在每一種情形拉開的過程都無限地進行下去 ———“直至無窮”。現在想象曳物線繞直線 XOX' 旋轉。雙喇叭曲面就生成了；它有常數負曲率，被稱為偽球面。如果我們在這個曲面上，用測地線畫出兩條邊相等、有兩個直角的四邊形，我們發現銳角假設是成立的。

這樣，直角、鈍角和銳角的假設分別對歐幾里得平面、球面和偽球面是成立的，而且在所有的情形下“直線”都是測地線或極值。歐幾里得幾何是球面幾何的極端情況，當球的半徑為無窮大時，就得到了歐幾里得幾何。

歐幾里得沒有構造一個適合地球的幾何，他基于地球是扁平的假定。人們用了 2000 多年的時間，直到羅巴切夫斯基出現。

用愛因斯坦的話說，羅巴切夫斯基是在向一個公理挑戰。任何人向一個 2000 多年以來為大多數人視為不容否定的真理挑戰，如果不是拿他的生命冒險，也是拿他的科學聲譽冒險。

愛因斯坦本人向兩個事件可以在同一時間發生在不同地點這一公理提出挑戰，通過分析這個古老的假定，導致了狹義相對論的發現。

羅巴切夫斯基向之挑戰的公理是：對一個相容的幾何而言，歐幾里得的平行公設，或與之等價的直角假設乃是必要的。他用創造一個建立在銳角假設基礎上的幾何系統，來支持他的挑戰，在這個幾何系統中，通過一個定點與給定直線平行的直線不是一條，而是兩條。羅巴切夫斯基的兩條平行線都不跟它們與之平行的直線相交，通過該定點且落在這兩條平行線形成的角度之內的任何直線，也都不與之相交。這個顯然很奇怪的情形，是由偽球面上的測地線“實現”的。

對于任何日常的目的（測量距離等）而言，歐幾里得幾何同羅巴切夫斯基幾何之間的差異小得不值一提，但這不是要點之所在：兩種幾何都是自洽的，都符合人類的經驗。羅巴切夫斯基拋棄了歐幾里得幾何的不容否定的 "真理"。他的幾何只是由他的后繼者們構造出來的幾種幾何中的第一個。這些替代歐幾里得的幾何中，有一些 —— 例如廣義相對論的黎曼幾何 —— 今天在物理科學的仍然活躍和發展著的部分中，至少像歐幾里得幾何過去和現在在相對靜止的和經典的部分中那樣重要。對于一些目的，歐幾里得幾何是最好的，至少是夠用的，而對另外一些目的，它就不適用了，于是就需要非歐幾何了。

2200 年以來，人們在某種意義上相信，歐幾里得在他的幾何體系中發現了人類知覺的一個絕對真理或必然模式。羅巴切夫斯基的創造實際上證明了這種看法的錯誤。他的大膽挑戰，以及挑戰的結果，鼓舞著廣大數學家和科學家向其他的“公理”發出挑戰，例如對因果律挑戰。

也許我們還沒有體會到羅巴切夫斯基向公理挑戰的方法的全部影響。稱羅巴切夫斯基為幾何學中的哥白尼并不是夸大其詞。

本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡

總結

以上是生活随笔為你收集整理的罗巴切夫斯基几何 —— 数学史上最伟大的杰作（之一），人类思想的里程碑的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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