大題上完整的朱、劉算法是由四個大步驟組成的：

1、求最短弧集合E

2、判斷集合E中有沒有有向環(huán)，如果有轉步驟3，否則轉4

3、收縮點，把有向環(huán)收縮成一個點，并且對圖重新構建，包括邊權值的改變和點的處理，之后再轉步驟1。

4、展開收縮點，求得最小樹形圖。

因為我們ACM一般情況下都是在考察隊最小樹型圖的權值問題，所以一般省略步驟4，對于其環(huán)的權值和在中間處理過程中就可以處理完畢。所以我們這里就不多討論第四個點了。

我們分步處理、

1、首先我們先求最短弧集合E，對于當前圖如果有n個點（一個有向環(huán)的收縮點算作一個點），我們就要選出n-1個點，確定其入邊的最短邊，由其組成的一個集合我們就叫做最短弧集合E，如果我們枚舉到某一個點的時候，它沒有入邊，那么說明不存在最小樹形圖，所以這個時候算法結束，回到主函數(shù)。

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代碼實現(xiàn)：

for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u&&!flag[i])//u作為圖的根節(jié)點，flag【i】為1的情況就是表示這個點在某個有向環(huán)里邊，并且他不是這個有向環(huán)的代表點（縮點）{w[i][i]=INF, pre[i] = i;//首先讓當前點的前驅點為自己。for(int j=1; j<=n; j++)if(!flag[j] && w[j][i]<w[pre[i]][i])//枚舉i的前驅點（從j能夠到i的點），并且求其最短邊，加入集合E中{pre[i] = j;//并且標記當前點的前驅點為j}if(pre[i]==i)return -1;//如果當前枚舉到的點i沒有入邊，那么就不存在最小樹形圖（因為一顆樹是要所有節(jié)點都是連通的啊）}

2、然后我們對集合E中的邊進行判斷，判斷是否有有向環(huán)。剛剛的代碼實現(xiàn)里邊有一個前驅節(jié)點的存儲，所以在這個部分，我們直接一直向前枚舉前驅點即可，如果枚舉的前驅點最終能夠枚舉到根節(jié)點，那么這一部分就不存在有向環(huán)，否則就存在，對于每一個點都進行向前枚舉即可。

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int i;for(i=1; i<=n; i++){if(i!=u&&!flag[i]){int j=i, cnt=0;while(j!=u && pre[j]!=i && cnt<=n) j=pre[j], ++cnt;//對于每個節(jié)點都找前驅節(jié)點，看看能否成環(huán)。if(j==u || cnt>n) continue; //最后能找到起點（根）或者是走過的點已經超過了n個，表示沒有有向環(huán)break;//表示有有向環(huán)}}

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3、如果有有向環(huán)呢，我們需要對有向環(huán)進行縮點，既然我們是枚舉到節(jié)點i的時候發(fā)現(xiàn)有有向環(huán)，我們不妨把有向環(huán)里邊的點都收縮成點i。對于收縮完之后會形成一個新的圖，圖的變化規(guī)律是這樣的：

上圖變換成語言描述：如果點u在環(huán)內，如果點k在環(huán)外，并且從k到u有一條邊map【u】【v】=w，并且在環(huán)內還有一點i，使得map【i】【k】=w2，辣么map【k】【收縮點】=w-w2；

基于貪心思想，對于環(huán)的收縮點i和另外一點k（也在環(huán)內），對于環(huán)外一點j，如果map【k】【j】 <map【i】【j】，辣么map【i】【j】=map【k】【j】，因為是有向圖，入收縮點的邊要這樣處理，出收縮點的邊也要這樣處理，對于剛剛三個步驟：收縮點，收縮點處理新圖的邊權值，以及基于貪心思想的最終處理點i的出邊入邊權值，后兩者我們可以合并成一個操作，其分別的代碼實現(xiàn)：

3、收縮點：

int j=i; memset(vis, 0, sizeof(vis)); do{ans += w[pre[j]][j], j=pre[j], vis[j]=flag[j]=true;//對環(huán)內的點標記，并且直接對環(huán)的權值進行加和記錄，在最后找到最小樹形圖之后就不用展開收縮點了 }while(j!=i); flag[i] = false; // 環(huán)縮成了點i，點i仍然存在

4、處理收縮點后形成的圖：

for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k]) // 在環(huán)中點點，剛剛在收縮點的時候，已經把在環(huán)中的點進行標記了。 {for(int j=1; j<=n; j++)if(!vis[j]) // 不在環(huán)中的點{if(w[i][j] > w[k][j]) w[i][j] = w[k][j];if(w[j][k]<INF && w[j][k]-w[pre[k]][k] < w[j][i])w[j][i] = w[j][k] - w[pre[k]][k];} }

處理完4之后，我們就回到步驟1，繼續(xù)找最小弧集E，最后找到了一個沒有環(huán)的最小弧集E之后，對于沒有弧的集合E中的所有邊（包括能將收縮點展開的邊）就是我們要求的最小樹形圖的邊集。

因為我們ACM一般求的都是最小樹形圖的權值，所以我們一般不需要展開收縮點，在處理環(huán)的時候，直接將其邊權值記錄下來就好，當找到一個沒有環(huán)的集合E的時候，對其中的最后邊權值進行加和即可，對于最后這部分的加權，代碼實現(xiàn):

for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k]) // 在環(huán)中點點，剛剛在收縮點的時候，已經把在環(huán)中的點進行標記了。 {for(int j=1 ; j<=n; j++)if(!vis[j]) // 不在環(huán)中的點 {if(w[i][j] > w[k][j]) w[i][j] = w[k][j];if(w[j][k]<INF && w[j][k]-w[pre[k]][k] < w[j][i])w[j][i] = w[j][k] - w[pre[k]][k];} } 完整的朱、劉算法代碼實現(xiàn)（沒有展開收縮點的）： #include <cstdio> #include <cmath> #include <string> #include <cstring> #include <algorithm> #include <limits> #include <vector> #include <stack> #include <queue> #include <set> #include <map> #define lowbit(x) ( x&(-x) ) #define pi 3.141592653589793 #define e 2.718281828459045 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std; typedef unsigned long long ull; typedef long long ll; const int maxN = 1005; int N, M; ll sum; struct Eddge //存邊 {int u, v;ll val;Eddge(int a=0, int b=0, ll c=0):u(a), v(b), val(c) {} }edge[maxN*maxN]; int pre[maxN], id[maxN], vis[maxN], pos; ll in[maxN]; //最小入邊權，pre[]為其前面的點（該邊的起點） ll Dir_MST(int root, int V, int E) //root是此時的根節(jié)點，我們最初的時候將0（萬能節(jié)點作為根節(jié)點進入），V是點的個數(shù)（包括之后要收縮之后點的剩余個數(shù)），E是邊的條數(shù)（不會改變） {ll ans = 0;while(true) //如果還是可行的話{for(int i=0; i<V; i++) in[i] = INF; //給予每個點進行初始化/* (1)、最短弧集合E0 */for(int i=1; i<=E; i++) //通過這么多條單向邊，確定的是每個點的指向邊的最小權值{int u = edge[i].u, v = edge[i].v;if(edge[i].val < in[v] && u!=v) //頂點v有更小的入邊，記錄下來 更新操作，u!=v是為了確保縮點之后，我們的環(huán)將會變成點的形式{pre[v] = u; //節(jié)點u指向vin[v] = edge[i].val; //最小入邊if(u == root) pos = i; //這個點就是實際的起點}}/* (2)、檢查E0 */for(int i=0; i<V; i++) //判斷是否存在最小樹形圖{if(i == root) continue; //是根節(jié)點，不管if(in[i] == INF) return -1; //除了根節(jié)點以外，有點沒有入邊，則根本無法抵達它，說明是獨立的點，一定不能構成樹形圖}/* (3)、收縮圖中的有向環(huán) */int cnt = 0; //接下來要去求環(huán)，用以記錄環(huán)的個數(shù) 找環(huán)開始！memset(id, -1, sizeof(id));memset(vis, -1, sizeof(vis));in[root] = 0;for(int i=0; i<V; i++) //標記每個環(huán){ans += in[i]; //加入每個點的入邊（既然是最小入邊，所以肯定符合最小樹形圖的思想）int v = i; //v一開始先從第i個節(jié)點進去while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) //退出的條件有“形成了一個環(huán)，即vis回歸”、“到了一個環(huán)，此時就不要管了，因為那邊已經建好環(huán)了”、“到了根節(jié)點，就是條鏈，不用管了”{vis[v] = i;v = pre[v];}if(v != root && id[v] == -1) //如果v是root就說明是返回到了根節(jié)點，是條鏈，沒環(huán)；又或者，它已經是進入了對應環(huán)的編號了，不需要再跑一趟了{for(int u=pre[v]; u!=v; u=pre[u]) //跑這一圈的環(huán){id[u] = cnt; //標記點u是第幾個環(huán)}id[v] = cnt++; //如果再遇到，就是下個點了}}if(cnt == 0) return ans; //無環(huán)的情況，就說明已經取到了最優(yōu)解，直接返回，或者說是環(huán)已經收縮到沒有環(huán)的情況了for(int i=0; i<V; i++) if(id[i] == -1) id[i] = cnt++; //這些點是環(huán)外的點，是鏈上的點，單獨再給他們賦值for(int i=1; i<=E; i++) //準備開始建立新圖 縮點，重新標記{int u = edge[i].u, v = edge[i].v;edge[i].u = id[u]; edge[i].v = id[v]; //建立新圖，以新的點進入if(id[u] != id[v]) edge[i].val -= in[v]; //為了不改變原來的式子，使得展開后還是原來的式子}V = cnt; //之后的點的數(shù)目root = id[root]; //新的根節(jié)點的序號，因為id[]的改變，所以根節(jié)點的序號也改變了}return ans; } int main() {while(scanf("%d%d", &N, &M)!=EOF){sum = 0;for(int i=1; i<=M; i++){scanf("%d%d%lld", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].val);edge[i].u++; edge[i].v++; //把‘0’號節(jié)點空出來，用以做萬能節(jié)點，留作之后用sum += edge[i].val;}sum++; //一定要把sum給擴大，這就意味著，除去萬能節(jié)點以外的點鎖構成的圖的權值和得在（sum-1）之內（包含）for(int i=M+1; i<=M+N; i++) //這就是萬能節(jié)點了，就是從0這號萬能節(jié)點有通往所有其他節(jié)點的路，而我們最后的最小樹形圖就是從這個萬能節(jié)點出發(fā)所能到達的整幅圖{edge[i] = Eddge(0, i-M, sum); //對于所有的N個其他節(jié)點都要建有向邊} //此時N+1為總的節(jié)點數(shù)目，M+N為總的邊數(shù)ll ans = Dir_MST(0, N + 1, M+N); //ans代表以超級節(jié)點0為根的最小樹形圖的總權值if(ans == -1 || ans - sum >= sum) printf("impossible\n"); //從萬能節(jié)點的出度只能是1，所以最后的和必須是小于sum的，而萬能節(jié)點的出度就由“ans - sum >= sum”保證else printf("%lld %d\n", ans - sum, pos - M - 1); //pos-M得到的是1～N的情況，所以“-1”的目的就在于這里printf("\n");}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小树形图+朱刘算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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