威爾遜定理
當 $(p?1)!\equiv ?1(modp)$時，$p$為素數。
$p\mid (p?1)!+1$
即$(p?1)!\equiv (p?1)\equiv ?1(modp)$
證明（靜下心看）：
充分性：
$(p?1)!\equiv ?1(modp)?p\mid (p?1)!+1$
假設$p$ 不是質數，且 $a$是 $p$ 的質因子。
易知$a\mid (p?1)!$，則$a?(p?1)!+1$
而$p\mid (p?1)!+1?a\mid (p?1)!+1$，前后矛盾！
故 $p$ 一定為質數。
必要性：
必要性：

當p為2，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立

當p為3，( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 顯然成立

對于p>=5，令M={2,3,4,…,p-2}.

對于a∈M，令N={a,2*a,3*a,4*a,....(p-2)*a,(p-1)*a}令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2那么t1*a∈N，t2*a∈N。若t1*a≡t2*a (mod p) ，那么|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。因為|t1-t2|*a∈N，與N中元素不能被p除盡矛盾。所以t1*a≡t2*a不成立。那么N中元素對p取模后形成的集合為{1,2,3,4,...,p-1}.設x*a ≡ 1 (mod p)。當x=1時， x*a=a, 對p取模不為1，所以不成立。當x=p-1時，(p-1)*a=p*a-a, 對p取模不為1，所以不成立。當x=a時，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。綜上所述，x,a∈M，并且當a不同時，x也隨之不同。所以，M集合中每一個元素a都能夠找到一個與之配對的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).(p-1)!=1*2*3*...p-1=1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)所以， (p-1)!≡1*(p-1) (mod p)即，(p-1)!≡-1 (mod p) 證明完畢

總結

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