一、多階段決策過程的最優(yōu)化問題
在現(xiàn)實(shí)生活中,有類活 動的過程，由于 它的特殊性，可將過程分成若干個互相階段。在它的每一階段都需要作出決策,從而使整個過程達(dá)到最好的活動效果。當(dāng)階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當(dāng)前面臨的狀態(tài),又影響以后的發(fā)展，當(dāng)段決策確定后，就組成一個決策序列,因而也就確定了整個過程的一條活動路線,這個問題看作是個前后關(guān)聯(lián)具有鏈狀結(jié)構(gòu)的 多階段過程就稱為多階段決策過程，這就稱為多階段決策問題。
多階段決策過程,是指這樣的一類特殊的活動過程,問題可以按時間順序分解互聯(lián)系的階段，在每-個階段都要作出決策,全部過程的決策是-個決策序列。

二、能采用動態(tài)規(guī)劃求解的問題的一般要具有3個性質(zhì)：
最優(yōu)化原理：如果問題的最優(yōu)解所包含的子問題的解也是最優(yōu)的，就稱該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，即滿足最優(yōu)化原理。
無后效性：即某階段狀態(tài)一旦確定，就不受這個狀態(tài)以后決策的影響。也就是說，某狀態(tài)以后的過程不會影響以前的狀態(tài)，只 與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。
有重疊子問題：即子問題之間是不獨(dú)立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質(zhì)并不是動態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果沒有這條性質(zhì)，動態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢）

三、動態(tài)規(guī)劃基本概念
狀態(tài)：描述事物的性質(zhì)，不同事物有不同的性質(zhì)，因而用不同的狀態(tài)來刻畫。對問題的求解狀態(tài)的描述是分階段的。
決策：根據(jù)題意要求，對每個階段所做出的某種選擇性操作。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：用數(shù)學(xué)公式描述與階段相關(guān)的狀態(tài)間的演變規(guī)律。
四、解題步驟：

拆分問題

定義狀態(tài)(并找出初狀態(tài))

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

五、模型方法
第一種遞歸搜索法。
第二種遞歸搜索法+記憶。
第三種遞推式法。

六、例題
數(shù)塔問題

思路分析：
貪心不可解，每一步都會影響后續(xù)的操作。
在用動態(tài)規(guī)劃考慮數(shù)塔問題時可以自頂向下的分析，自底向上的計(jì)算。
從頂點(diǎn)出發(fā)時到底向左走還是向右走應(yīng)取決于是從左走能取到最大值還是從右走能取到最大值，只要左右兩道路徑上的最大值求出來了才能作出決策。同樣的道理下一層的走向又要取決于再下一層上的最大值是否已經(jīng)求出才能決策。這樣一層一層推下去，直到倒數(shù)第二層時就非常明了。
所以第一步對第五層的8個數(shù)據(jù)，做如下四次決策：
如果經(jīng)過第四層2，則在第五層的19和7中肯定是19；
如果經(jīng)過第四層18，則在第五層的7和10中肯定是10；
如果經(jīng)過第四層9，則在第五層的10和4中肯定是10；
如果經(jīng)過第四層5，則在第五層的4和16中肯定是16；
經(jīng)過一次決策，問題降了一階。5層數(shù)塔問題轉(zhuǎn)換成4層數(shù)塔問題，如此循環(huán)決策…… 最后得到1階的數(shù)塔問題。

#include <bits/stdc++.h using namespace std; const int MAXN = 100+10; int num[MAXN][MAXN]; int dp[MAXN][MAXN]; int main() {int t;scanf("%d", &t);while( t-- ){memset(dp, 0, sizeof(dp));int n;scanf("%d", &n);for( int i=1; i<=n; i++ ){for( int j=1; j<=i; j++ )scanf("%d", &num[i][j]);}for( int j=1; j<=n; j++ )dp[n][j] = num[n][j];for( int i = n-1; i = 1; i-- ){for( int j=1; j <= i; j++ ){dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);}}printf("%d\n", dp[1][1] );}return 0; }

1.以上篇文章數(shù)塔為例

上一章用的是遞歸的做法，這次我們采用遞推的做法。

遞歸：從已知問題的結(jié)果出發(fā)，用迭代表達(dá)式逐步推算出問題的開始的條件，即順推法的逆過程，稱為遞歸。
遞推：遞推算法是一種用若干步可重復(fù)運(yùn)算來描述復(fù)雜問題的方法。遞推是序列計(jì)算中的一種常用算法。通常是通過計(jì)算機(jī)前面的一些項(xiàng)來得出序列中的指定象的值。
遞歸與遞推區(qū)別：相對于遞歸算法,遞推算法免除了數(shù)據(jù)進(jìn)出棧的過程，也就是說,不需要函數(shù)不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發(fā),直到求出函數(shù)值。
斐波那契數(shù)列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且滿足關(guān)系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，則f(50)等于多少？
分析：根據(jù)初始條件f(1) = 1 , f(2) = 1 和關(guān)系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
編寫代碼（遞歸）

第四層的取值等于左下或者右下與自己的加和，第四層就有max{2+19，2+7} max{18+7,18+10} max{9+10,9+4} max{5+4,5+16}
結(jié)果第四層就變成了 21，28，19，21。這樣五層變成了四層。以此類推n層變?yōu)閚-1層到1層。更易求出最大值。
代碼實(shí)現(xiàn)過程如下

#include<bits/stdc++.h using namespace std; int main {int ob[10][10];int temp;cinN;//數(shù)塔層數(shù)for(int i=0；i<N;i++){for(t=0;t<=i;t++){cina[i][j];}}for(int i=N-1;i=1;i--){for(int t=0;t<=i;t++){temp=max{a[i+1][t],a[i+1][t+1]；a[i][t]=a[i][t]+temp；}}1、線性模型線性模型的是動態(tài)規(guī)劃中最常用的模型，上文講到的最長單調(diào)子序列就是經(jīng)典的線性模型，這里的線性指的是狀態(tài)的排布是性的。2、區(qū)間模型區(qū)間模型的狀態(tài)表示一般為d[i][j]，表示區(qū)間[i, j]上的最優(yōu)解，然后通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移計(jì)算出[i+1, j]或者[i, j+1]上的最優(yōu)解，逐步擴(kuò)大區(qū)間的范圍，最終求得[1, len]的最優(yōu)解。

3、背包模型
背包問題是動態(tài)規(guī)劃中一個最典型的問題之一。由于網(wǎng)上有非常詳盡的背包講解，這里只將常用部分抽出來，具體推導(dǎo)過程詳見 《背包九講》。
a.0/1背包
有N種物品（每種物品1件）和一個容量為V的背包。放入第 i 種物品耗費(fèi)的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。
f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。
決策為第i個物品在前i-1個物品放置完畢后，是選擇放還是不放，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v - Ci] +Wi }
時間復(fù)雜度O(VN)，空間復(fù)雜度O(VN) （空間復(fù)雜度可利用滾動數(shù)組進(jìn)行優(yōu)化達(dá)到O(V)，下文會介紹滾動數(shù)組優(yōu)化）。

b.完全背包有N種物品（每種物品無限件）和一個容量為V的背包。放入第 i 種物品耗費(fèi)的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= v/Ci } (當(dāng)k的取值為0,1時，這就是01背包的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程）時間復(fù)雜度O( VNsum{V/Ci} )，空間復(fù)雜度在用滾動數(shù)組優(yōu)化后可以達(dá)到 O( V )。進(jìn)行優(yōu)化后（此處省略500字），狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程變成：f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i][v - Ci] +Wi } 時間復(fù)雜度降為 O(VN)。c.多重背包有N種物品（每種物品Mi件）和一個容量為V的背包。放入第i種物品耗費(fèi)的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= Mi }時間復(fù)雜度O( Vsum(Mi) )， 空間復(fù)雜度仍然可以用滾動數(shù)組優(yōu)化后可以達(dá)到 O( V )。優(yōu)化：采用二進(jìn)制拆分物品，將Mi個物品拆分成容量為1、2、4、8、... 2^k、Mi-( 2^(k+1) - 1 ) 個對應(yīng)價值為Wi、2Wi、4Wi、8Wi、...、2^kWi、（ Mi-( 2^(k+1) - 1 )

）Wi的物品，然后采用01背包求解。 這樣做的時間復(fù)雜度降為O(Vsum(logMi) )。找不到出處了

給定一個字符串s，你可以從中刪除一些字符，使得剩下的串是一個回文串。如何刪除才能使得回文串最長呢？ 輸出需要刪除的字符個數(shù)。

本題可轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃算法求解最長公共子序列問題，然后用總字符串長度減去最長子序列長度，便得出問題的答案。

先將給定的初始字符串S1反過來排列，設(shè)為S2，求S1和S2的最長公共子序列便可。C++代碼如下：

#include <iostream #include <string #include <algorithm using namespace std; int temp[100][100];void caculate(string s1){string s2(s1);reverse(s2.begin(), s2.end());int len = s1.length();memset(temp, 0, sizeof(temp));for (int i = 0; i<len; ++i){for (int j = 0; j<len; ++j){if (s1[i] == s2[j])temp[i + 1][j + 1] = temp[i][j] + 1;else temp[i + 1][j + 1] = max(temp[i][j + 1], temp[i + 1][j]);}}cout << len - temp[len][len] << endl; }int main() {string s;getline(cin, s);caculate(s);system("pause");return 0; }

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srm div2 1000 狀態(tài)壓縮+LIS

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的『ACM-算法-动态规划』初识DP动态规划算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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