一、多階段決策過程的最優化問題
在現實生活中,有類活 動的過程，由于 它的特殊性，可將過程分成若干個互相階段。在它的每一階段都需要作出決策,從而使整個過程達到最好的活動效果。當階段決策的選取不是任意確定的，它依賴于當前面臨的狀態,又影響以后的發展，當段決策確定后，就組成一個決策序列,因而也就確定了整個過程的一條活動路線,這個問題看作是個前后關聯具有鏈狀結構的 多階段過程就稱為多階段決策過程，這就稱為多階段決策問題。
多階段決策過程,是指這樣的一類特殊的活動過程,問題可以按時間順序分解互聯系的階段，在每-個階段都要作出決策,全部過程的決策是-個決策序列。

二、能采用動態規劃求解的問題的一般要具有3個性質：
最優化原理：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具有最優子結構，即滿足最優化原理。
無后效性：即某階段狀態一旦確定，就不受這個狀態以后決策的影響。也就是說，某狀態以后的過程不會影響以前的狀態，只 與當前狀態有關。
有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質并不是動態規劃適用的必要條件，但是如果沒有這條性質，動態規劃算法同其他算法相比就不具備優勢）

三、動態規劃基本概念
狀態：描述事物的性質，不同事物有不同的性質，因而用不同的狀態來刻畫。對問題的求解狀態的描述是分階段的。
決策：根據題意要求，對每個階段所做出的某種選擇性操作。
狀態轉移方程：用數學公式描述與階段相關的狀態間的演變規律。
四、解題步驟：

拆分問題

定義狀態(并找出初狀態)

狀態轉移方程

五、模型方法
第一種遞歸搜索法。
第二種遞歸搜索法+記憶。
第三種遞推式法。

六、例題
數塔問題

思路分析：
貪心不可解，每一步都會影響后續的操作。
在用動態規劃考慮數塔問題時可以自頂向下的分析，自底向上的計算。
從頂點出發時到底向左走還是向右走應取決于是從左走能取到最大值還是從右走能取到最大值，只要左右兩道路徑上的最大值求出來了才能作出決策。同樣的道理下一層的走向又要取決于再下一層上的最大值是否已經求出才能決策。這樣一層一層推下去，直到倒數第二層時就非常明了。
所以第一步對第五層的8個數據，做如下四次決策：
如果經過第四層2，則在第五層的19和7中肯定是19；
如果經過第四層18，則在第五層的7和10中肯定是10；
如果經過第四層9，則在第五層的10和4中肯定是10；
如果經過第四層5，則在第五層的4和16中肯定是16；
經過一次決策，問題降了一階。5層數塔問題轉換成4層數塔問題，如此循環決策…… 最后得到1階的數塔問題。

#include <bits/stdc++.h using namespace std; const int MAXN = 100+10; int num[MAXN][MAXN]; int dp[MAXN][MAXN]; int main() {int t;scanf("%d", &t);while( t-- ){memset(dp, 0, sizeof(dp));int n;scanf("%d", &n);for( int i=1; i<=n; i++ ){for( int j=1; j<=i; j++ )scanf("%d", &num[i][j]);}for( int j=1; j<=n; j++ )dp[n][j] = num[n][j];for( int i = n-1; i = 1; i-- ){for( int j=1; j <= i; j++ ){dp[i][j] = num[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]);}}printf("%d\n", dp[1][1] );}return 0; }

1.以上篇文章數塔為例

上一章用的是遞歸的做法，這次我們采用遞推的做法。

遞歸：從已知問題的結果出發，用迭代表達式逐步推算出問題的開始的條件，即順推法的逆過程，稱為遞歸。
遞推：遞推算法是一種用若干步可重復運算來描述復雜問題的方法。遞推是序列計算中的一種常用算法。通常是通過計算機前面的一些項來得出序列中的指定象的值。
遞歸與遞推區別：相對于遞歸算法,遞推算法免除了數據進出棧的過程，也就是說,不需要函數不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發,直到求出函數值。
斐波那契數列：已知f(1) = 1 , f(2) = 1 , 且滿足關系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，則f(50)等于多少？
分析：根據初始條件f(1) = 1 , f(2) = 1 和關系式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可知，f(3) = f(2) + f(1) , f(3) = f(2) + f(1) …….
編寫代碼（遞歸）

第四層的取值等于左下或者右下與自己的加和，第四層就有max{2+19，2+7} max{18+7,18+10} max{9+10,9+4} max{5+4,5+16}
結果第四層就變成了 21，28，19，21。這樣五層變成了四層。以此類推n層變為n-1層到1層。更易求出最大值。
代碼實現過程如下

#include<bits/stdc++.h using namespace std; int main {int ob[10][10];int temp;cinN;//數塔層數for(int i=0；i<N;i++){for(t=0;t<=i;t++){cina[i][j];}}for(int i=N-1;i=1;i--){for(int t=0;t<=i;t++){temp=max{a[i+1][t],a[i+1][t+1]；a[i][t]=a[i][t]+temp；}}1、線性模型線性模型的是動態規劃中最常用的模型，上文講到的最長單調子序列就是經典的線性模型，這里的線性指的是狀態的排布是性的。2、區間模型區間模型的狀態表示一般為d[i][j]，表示區間[i, j]上的最優解，然后通過狀態轉移計算出[i+1, j]或者[i, j+1]上的最優解，逐步擴大區間的范圍，最終求得[1, len]的最優解。

3、背包模型
背包問題是動態規劃中一個最典型的問題之一。由于網上有非常詳盡的背包講解，這里只將常用部分抽出來，具體推導過程詳見 《背包九講》。
a.0/1背包
有N種物品（每種物品1件）和一個容量為V的背包。放入第 i 種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。
f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。
決策為第i個物品在前i-1個物品放置完畢后，是選擇放還是不放，狀態轉移方程為：
f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v - Ci] +Wi }
時間復雜度O(VN)，空間復雜度O(VN) （空間復雜度可利用滾動數組進行優化達到O(V)，下文會介紹滾動數組優化）。

b.完全背包有N種物品（每種物品無限件）和一個容量為V的背包。放入第 i 種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= v/Ci } (當k的取值為0,1時，這就是01背包的狀態轉移方程）時間復雜度O( VNsum{V/Ci} )，空間復雜度在用滾動數組優化后可以達到 O( V )。進行優化后（此處省略500字），狀態轉移方程變成：f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i][v - Ci] +Wi } 時間復雜度降為 O(VN)。c.多重背包有N種物品（每種物品Mi件）和一個容量為V的背包。放入第i種物品耗費的空間是Ci，得到 的價值是Wi。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。f[i][v] = max{ f[i-1][v - kCi] + kWi | 0 <= k <= Mi }時間復雜度O( Vsum(Mi) )， 空間復雜度仍然可以用滾動數組優化后可以達到 O( V )。優化：采用二進制拆分物品，將Mi個物品拆分成容量為1、2、4、8、... 2^k、Mi-( 2^(k+1) - 1 ) 個對應價值為Wi、2Wi、4Wi、8Wi、...、2^kWi、（ Mi-( 2^(k+1) - 1 )

）Wi的物品，然后采用01背包求解。 這樣做的時間復雜度降為O(Vsum(logMi) )。找不到出處了

給定一個字符串s，你可以從中刪除一些字符，使得剩下的串是一個回文串。如何刪除才能使得回文串最長呢？ 輸出需要刪除的字符個數。

本題可轉化為動態規劃算法求解最長公共子序列問題，然后用總字符串長度減去最長子序列長度，便得出問題的答案。

先將給定的初始字符串S1反過來排列，設為S2，求S1和S2的最長公共子序列便可。C++代碼如下：

#include <iostream #include <string #include <algorithm using namespace std; int temp[100][100];void caculate(string s1){string s2(s1);reverse(s2.begin(), s2.end());int len = s1.length();memset(temp, 0, sizeof(temp));for (int i = 0; i<len; ++i){for (int j = 0; j<len; ++j){if (s1[i] == s2[j])temp[i + 1][j + 1] = temp[i][j] + 1;else temp[i + 1][j + 1] = max(temp[i][j + 1], temp[i + 1][j]);}}cout << len - temp[len][len] << endl; }int main() {string s;getline(cin, s);caculate(s);system("pause");return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的『ACM-算法-动态规划』初识DP动态规划算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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