機器學習-cs229-線性回歸part one

• 任務：預測房價
• • 損失函數cost function
  • 線性回歸的邏輯：
  • 梯度下降法
  • • 房價函數的梯度下降式子：
    • • 學習率learning rate：參數 α
    • 求J(θ)的極小值
    • • 方法一：BDG 批量梯度下降，計算整個數據集的梯度
      • 方法二：隨機梯度下降法

任務：預測房價

價格= F（面積，床數）

目標函數:

向量表示:

損失函數cost function

我們最終確定的線性函數 h(x) 上每個x值對應的 h(x) 值 & 真實的y值之間的差別，而差別我們用平方差來表示。

• 注：
  – 1/2是為了后續求導時能夠約掉平方，對于結果來說無影響
  – 這里針對其中一個i的情況，而所有情況是1/2m(如果有m個房間)
  – 為什么要用平方？

線性回歸的邏輯：

要確定參數θ—》就要確定使得J(θ)最小的θ，讓代價函數越低，越靠近樣本值----》求J(θ)的極小值----》方法：梯度下降法

梯度下降法

• 梯度：多元函數的導數
  表示：
• 梯度下降的式子
  
  這里梯度前面有一個參數η，意義是：沿η率的梯度下降達到更新后的值
  -圖片表示：
  

房價函數的梯度下降式子：

學習率learning rate：參數 α

是對梯度做調整，防止步長過大或者過小，錯過極小值
由于h(x)由參數θ和x決定，在損失函數中由于

求J(θ)的極小值

所以原來的梯度下降的式子可以寫成：

當梯度下降表達式穩定收斂時，我們才能求出對應的參數θ值。
梯度下降算法主要有三種變種，主要區別在于使用多少數據來計算目標函數的梯度。 不同方法主要在準確性和優化速度間做權衡。

方法一：BDG 批量梯度下降，計算整個數據集的梯度

• 優點：
  對于凸目標函數，可以保證全局最優； 對于非凸目標函數，可以保證一個局部最優。

• 缺點：
  速度慢; 數據量大時不可行; 無法在線優化(即無法處理動態產生的新樣本)

單變量示例：

多變量示例：

在多變量里，我們看到一個3維的圖，這個圖的含義是，底部xy軸是變量，當取不同變量值時，對應的損失函數的值呈現3維上的凸函數：

用矩陣化的形式表示代價函數：

當我們運行BDG方法時，當J(θ)的梯度無限接近于0，則說明此時的θ為我們要的解。
偽代碼

方法二：隨機梯度下降法

如果使用梯度下降法(批量梯度下降法)，那么每次迭代過程中都要對 n個樣本進行求梯度，所以開銷非常大，隨機梯度下降的思想就是隨機采樣一個樣本**J(xi)**來更新參數，那么計算開銷就從 O(n)下降到 O(1)。

隨機梯度下降雖然提高了計算效率，降低了計算開銷，但是由于每次迭代只隨機選擇一個樣本，因此隨機性比較大，所以下降過程中非常曲折(圖片來自《動手學深度學習》)

作者：Jackpop
鏈接：https://www.zhihu.com/question/264189719/answer/932262940

缺點：
對于最優化問題，凸問題，雖然不是每次迭代得到的損失函數都向著全局最優方向， 但是大的整體的方向是向全局最優解的，最終的結果往往是在全局最優解附近。
優點：
但是相比于批量梯度，這樣的方法更快，更快收斂，雖然不是全局最優，但很多時候是我們可以接受的，所以這個方法用的也比上面的多。

參考鏈接：
梯度下降優化算法總結.
知乎關于隨機梯度算法的討論
cs229 別人的整理
梯度下降法推導和示例

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习-cs229-线性回归-梯度下降法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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