圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（一）圖信號(hào)處理與圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）矩陣乘法的三種方式

• 1.1 矩陣乘法的三種方式
• • 參考文獻(xiàn)

? 圖信號(hào)處理（Graph Signal Processing，GSP） ¹是離散信號(hào)處理（Discrete Signal Processing，DSP）理論在圖信號(hào)領(lǐng)域的應(yīng)用，其通過(guò)對(duì)傅里葉變換、濾波等信號(hào)處理基本概念的遷移，來(lái)研究對(duì)圖信號(hào)的壓縮、變換、重構(gòu)等信號(hào)處理的基礎(chǔ)任務(wù)。

?圖信號(hào)處理與圖卷機(jī)模型密不可分：一方面，理解圖信號(hào)處理對(duì)于了解圖卷機(jī)模型的定義和演變有十分重要的幫助；一方面，圖信號(hào)處理也為圖卷機(jī)模型的理論研究提供了十分實(shí)用的工具。

?本章的脈絡(luò)十分自然，我們將看到圖信號(hào)處理的基本理論是如何延伸到圖卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中去的，首先，我們給出了圖信號(hào)的基本定義，緊接著介紹圖傅里葉變換，并由此引出圖信號(hào)頻率的定義。然后，我們介紹圖信號(hào)上的濾波操作，緊接著介紹卷積濾波與圖卷積模型的關(guān)系。其中還穿插了比較重要的兩部分內(nèi)容：一是對(duì)圖信號(hào)的頻域與空域的理解；二是對(duì)圖信號(hào)處理的頻域與空域的理解 ²。

1.1 矩陣乘法的三種方式

?由于本章的公式以矩陣乘法為主，為了幫助大家更好地理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，我們介紹下矩陣乘法的其他兩種計(jì)算方式。

?設(shè)兩個(gè)矩陣$A\in R^{K\times M}$，$B\in R^{M\times P}$，對(duì)于$C=AB$，我們有如下3種計(jì)算方式：

?(1) 內(nèi)積視角：將$A$視作一個(gè)行向量矩陣，將$B$視作一個(gè)列向量矩陣，則：
$$C_{ij}=A_{i,:}{B}_{:,j}$$?(2) 行向量視角：將$B$視作一個(gè)行向量矩陣，將$A$視作系數(shù)矩陣，則：
$$C_{i,:}=\sum _m^M{A}_{im}{B}_{m,:}$$?(3) 列向量視角：將$A$視作一個(gè)列向量矩陣，將$B$視作系數(shù)矩陣，則：
$$C_{:,j}=\sum _m^M{B}_{mj}{A}_{:,m}$$
?舉例來(lái)說(shuō)，設(shè)$A=\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$，$B=?\begin{array}{cc}2& 0\\ ?1& 1\\ 0& ?1\end{array}?$，則：

?如果用內(nèi)積視角計(jì)算，可得$C=\left[\begin{array}{cc}3& ?3\\ ?2& 1\end{array}\right]$

?如果用行視角進(jìn)行計(jì)算，我們以$C$的第一行計(jì)算過(guò)程為例：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}3& ?3\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\end{array}\right]?\begin{array}{cc}2& 0\\ ?1& 1\\ 0& ?1\end{array}?\\ & =1\left[\begin{array}{cc}2& 0\end{array}\right]+(?1)\left[\begin{array}{cc}?1& 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}0& ?1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& ?1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& ?2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}3& ?3\end{array}\right]\end{array}$$

?如果用列視角進(jìn)行計(jì)算，我們以$C$的第一列計(jì)算過(guò)程為例：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}3\\ ?2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]?\begin{array}{c}2\\ ?1\\ 0\end{array}?\\ & =2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+(?1)\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ ?2\end{array}\right]\end{array}$$
?上述兩種新的矩陣計(jì)算視角除了對(duì)理解本章的公式推導(dǎo)大有益處之外，行視角的計(jì)算方式對(duì)理解空域圖卷積的計(jì)算邏輯與意義也將有很大幫助。

參考文獻(xiàn)

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[1] Shuman D I，Narang S K，Frossard P，et al.The
emerging field of signal processing on graphs: Extending high-dimensional data analysis to networks and other irregular domains[J].IEEE signal processing magazine，2013，30（3）：83-98. ??

[2] 劉忠雨, 李彥霖, 周洋.《深入淺出圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò): GNN原理解析》.機(jī)械工業(yè)出版社. ??

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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