圖神經網絡（一）圖信號處理與圖卷積神經網絡（1）矩陣乘法的三種方式

• 1.1 矩陣乘法的三種方式
• • 參考文獻

? 圖信號處理（Graph Signal Processing，GSP） ¹是離散信號處理（Discrete Signal Processing，DSP）理論在圖信號領域的應用，其通過對傅里葉變換、濾波等信號處理基本概念的遷移，來研究對圖信號的壓縮、變換、重構等信號處理的基礎任務。

?圖信號處理與圖卷機模型密不可分：一方面，理解圖信號處理對于了解圖卷機模型的定義和演變有十分重要的幫助；一方面，圖信號處理也為圖卷機模型的理論研究提供了十分實用的工具。

?本章的脈絡十分自然，我們將看到圖信號處理的基本理論是如何延伸到圖卷積神經網絡中去的，首先，我們給出了圖信號的基本定義，緊接著介紹圖傅里葉變換，并由此引出圖信號頻率的定義。然后，我們介紹圖信號上的濾波操作，緊接著介紹卷積濾波與圖卷積模型的關系。其中還穿插了比較重要的兩部分內容：一是對圖信號的頻域與空域的理解；二是對圖信號處理的頻域與空域的理解 ²。

1.1 矩陣乘法的三種方式

?由于本章的公式以矩陣乘法為主，為了幫助大家更好地理解公式的推導過程，我們介紹下矩陣乘法的其他兩種計算方式。

?設兩個矩陣$A\in R^{K\times M}$，$B\in R^{M\times P}$，對于$C=AB$，我們有如下3種計算方式：

?(1) 內積視角：將$A$視作一個行向量矩陣，將$B$視作一個列向量矩陣，則：
$$C_{ij}=A_{i,:}{B}_{:,j}$$?(2) 行向量視角：將$B$視作一個行向量矩陣，將$A$視作系數矩陣，則：
$$C_{i,:}=\sum _m^M{A}_{im}{B}_{m,:}$$?(3) 列向量視角：將$A$視作一個列向量矩陣，將$B$視作系數矩陣，則：
$$C_{:,j}=\sum _m^M{B}_{mj}{A}_{:,m}$$
?舉例來說，設$A=\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$，$B=?\begin{array}{cc}2& 0\\ ?1& 1\\ 0& ?1\end{array}?$，則：

?如果用內積視角計算，可得$C=\left[\begin{array}{cc}3& ?3\\ ?2& 1\end{array}\right]$

?如果用行視角進行計算，我們以$C$的第一行計算過程為例：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}3& ?3\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\end{array}\right]?\begin{array}{cc}2& 0\\ ?1& 1\\ 0& ?1\end{array}?\\ & =1\left[\begin{array}{cc}2& 0\end{array}\right]+(?1)\left[\begin{array}{cc}?1& 1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}0& ?1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& ?1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& ?2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}3& ?3\end{array}\right]\end{array}$$

?如果用列視角進行計算，我們以$C$的第一列計算過程為例：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}3\\ ?2\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}1& ?1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]?\begin{array}{c}2\\ ?1\\ 0\end{array}?\\ & =2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+(?1)\left[\begin{array}{c}?1\\ 2\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ ?2\end{array}\right]\end{array}$$
?上述兩種新的矩陣計算視角除了對理解本章的公式推導大有益處之外，行視角的計算方式對理解空域圖卷積的計算邏輯與意義也將有很大幫助。

參考文獻

---

[1] Shuman D I，Narang S K，Frossard P，et al.The
emerging field of signal processing on graphs: Extending high-dimensional data analysis to networks and other irregular domains[J].IEEE signal processing magazine，2013，30（3）：83-98. ??

[2] 劉忠雨, 李彥霖, 周洋.《深入淺出圖神經網絡: GNN原理解析》.機械工業出版社. ??

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图神经网络（一）图信号处理与图卷积神经网络（1）矩阵乘法的三种方式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。