圖神經網絡（一）圖信號處理與圖卷積神經網絡（2）圖信號與圖的拉普拉斯矩陣

?給定圖$G=(V,E)$，V表示圖中的節點集合，假設其長度為$N$，圖信號是一種描述$V\to R$的映射，表示成向量的形式：$x=[x_1,x_2,\dots ,x_N{]}^{\mathrm{T}}$，其中$x_i$表示的是節點$v_i$上的信號強度，如圖1-1所示，其中豎線長度表示節點上信號值的大小：

圖1-1 圖信號示例

?與離散時間信號不同，圖信號是定義在節點上的信號，而節點之間有自己固有的關聯結構。在研究圖信號性質的時候，處理要考慮圖信號的強度之外，還需要考慮圖的拓撲結構，不同圖上同一強度的信號，具有截然不同的性質。

?拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）是用來研究圖的結構性質的核心對象，拉普拉斯矩陣的定義如下：$L=D?A$，$D$是一個對角矩陣，$D_{ii}={\sum }_j{A}_{ij}$表示的是節點$v_i$的度。拉普拉斯矩陣的元素級別定義如下：

$$L_{ij}=?\begin{array}{ll}deg?(v_i)& \text{if}I=j\\ ?1& \text{if}{e}_{ij}\in E\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

?拉普拉斯矩陣還有一種正則化的形式（symmetric normalized laplacian）$L_{\text{sym}}=D^{?1/2}L{D}^{?1/2}$，元素級別定義如下：

$$L_{\text{sym}}=?\begin{array}{ll}1& \text{if}I=j\\ \frac{?1}{\sqrt{(deg?(v_i)deg?(v_j)}}& \text{if}{e}_{ij}\in E\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

?拉普拉斯矩陣的定義來源于拉普拉斯算子，拉普拉斯算子是$n$維歐式空間中的一個二維微分算子：$?f={\sum }_{i=1}^n\frac{{?}^{2}f}{?x_i^2}$ 。如果將該算子的作用域退化到離散的二維圖像空間，就成了我們非常熟悉的邊緣檢測算子，其作用原理如下：
$$\begin{array}{rl}?f(x,y)& =\frac{{?}^{2}f(x,y)}{?x^2}+{\frac{{?}^{2}f(x,y)}{?y}}^2\\ & =[(f(x+1,y)?f(x,y))?(f(x,y)?f(x?1,y))]+[(f(x,y+1)?f(x,y))?(f(x,y)?f(x,y?1))]\\ & =[(f(x+1,y)+f(x?1,y))+(f(x,y+1)?f(x,y?1))]?4f(x,y)\end{array}$$

?在處理圖像的時候，上式中的算子會被表示成模板的形式：

?從模板中我們可以直觀地看到，拉普拉斯算子也被用來描述中心節點與鄰居節點之間的信號的差異。

?同理，在圖信號中，拉普拉斯算子也被用來描述中心節點與鄰居節點之間的信號差異，這從下式中可以看出:
$$L\mathbf{x}=(D?A)\mathbf{x}=[?,\sum _{v_j\in N(v_j)},?]$$
?由此可知，拉普拉斯矩陣是一個反映圖信號局部平滑度的算子。更進一步來說，拉普拉斯矩陣可以讓我們定義一個非常重要的二次型：
$${\mathbf{x}}^{\text{T}}L\mathbf{x}=\sum _{v_i}\sum _{v_j\in N(v_i)}{x}_i(x_i?x_j)=\sum _{e_{ij}\in E}(x_i?x_j{)}^2$$
?令$TV(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\text{T}}L\mathbf{x}={\sum }_{e_{ij}\in E}(x_i?x_j{)}^2$，我們稱$TV(\mathbf{x})$為圖信號的總變差（Total Variation）。總變差是一個標量，它將各條邊上信號的差值進行加和，刻畫了圖信號整體的平滑度。

參考文獻
[1] 劉忠雨, 李彥霖, 周洋.《深入淺出圖神經網絡: GNN原理解析》.機械工業出版社.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图神经网络（一）图信号处理与图卷积神经网络（2）图信号与图的拉普拉斯矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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