【繪芯滑軌屏推薦】車輛路徑問題(VRP)一般定義為：對一系列裝貨點和卸貨點，組織適當的行車線路，使車輛有序地通過它們，在滿足一定的約束條件(如貨物需求量、發送量、交發貨時間、車輛容量限制、行駛里程限制、時間限制等)下，達到一定問題的目標(如路程最短、費用最少、時間盡量少、使用車輛數盡量少等)。

目前有關VRP的研究已經可以表示(如圖1)為：給定一個或多個中心點(中心倉庫，central depot)、一個車輛集合和一個顧客集合，車輛和顧客各有自己的屬性，每輛車都有容量，所裝載貨物不能超過它的容量。起初車輛都在中心點，顧客在空間任意分布，車把貨物從車庫運送到每一個顧客(或從每個顧客處把貨物運到車庫)，要求滿足顧客的需求，車輛最后返回車庫，每個顧客只能被服務一次，怎樣才能使運輸費用最小。而顧客的需求或已知、或隨機、或以時間規律變化。

圖1? VRP示意圖

一、在VRP中，最常見的約束條件有:

(1)容量約束：任意車輛路徑的總重量不能超過該車輛的能力負荷。引出帶容量約束的車輛路徑問題(CapacitatedVehicle Routing

Problem，CVRP)。

(2)優先約束：引出優先約束車輛路徑問題(VehicleRouting Problem

with precedence Constraints，VRPPC)。

(3)車型約束：引出多車型車輛路徑問題(Mixed/Heterogeneous Fleet

Vehicle Routing Problem，MFVRP/ HFVRP)。

(4)時間窗約束：包括硬時間窗(Hard Time windows)和軟時間窗(Soft Time windows)約束。引出帶時間窗(包括硬時間窗和軟時間窗)的車輛路徑問題(Vehicle Routing Problem

withTime windows，VRPTW)。

(5)相容性約束：引出相容性約束車輛路徑問題(VehicleRouting Problem

with Compatibility Constraints，VRPCC)。

(6)隨機需求：引出隨機需求車輛路徑問題(VehicleRouting Problem

with Stochastic Demand，VRPSD)。

(7)開路：引出開路車輛路徑問題(Open Vehicle

RoutingProblem)。

(8)多運輸中心：引出多運輸中心的車輛路徑問題(Multi-Depot Vehicle Routing

Problem)。

(9)回程運輸：引出帶回程運輸的車輛路徑問題(VehicleRouting Problem

with Backhauls)。

(10)最后時間期限：引出帶最后時間期限的車輛路徑問題(Vehicle Routing Problem

with Time Deadlines)。

(11)車速隨時間變化：引出車速隨時間變化的車輛路徑問題(Time-Dependent Vehicle Routing

Problem)。

二、CVRP問題描述及其數學模型

CVRP的描述：設某中心車場有k輛車，每輛配送車的最大載重量Q，需要對n個客戶(節點)進行運輸配送，每輛車從中心車場出發給若干個客戶送貨，最終回到中心車場，客戶點i的貨物需求量是qi(i=1,2,…,n)，且qi

定義變量如下:

建立此問題的數學模型：

minz =cijxijk(2.2)

約束條件：

yki=1?????????????????????????

(i=0,1,…,n)(2.3)

xijk=ykj????????????

(j=0,1,…,n

k=1,2,…,m)(2.4)

xjik=ykj(j=0,1,…,n? k=1,2,…,m)(2.5)

qiyki

Q(k=1,2,…,m)(2.6)

三、車輛路徑問題算法綜述

目前，求解車輛路徑問題的方法非常多，基本上可以分為精確算法和啟發式算法2大類。

3.1精確算法

精確算法是指可求出其最優解的算法，主要運用線性規劃、整數規劃、非線性規劃等數學規劃技術來描述物流系統的數量關系，以便求得最優決策。精確算法主要有：

分枝定界法(Branch and Bound Approach)

割平面法(Cutting

Planes Approach)

網絡流算法(Network

Flow Approach)

動態規劃算法(Dynamic Programming Approach)

總的說來，精確性算法基于嚴格的數學手段，在可以求解的情況下，其解通常要優于人工智能算法。但由于引入嚴格的數學方法，計算量一般隨問題規模的增大呈指數增長，因而無法避開指數爆炸問題，從而使該類算法只能有效求解中小規模的確定性VRP，并且通常這些算法都是針對某一特定問題設計的,適用能力較差,因此在實際中其應用范圍很有限。

3.2啟發式算法

由于車輛路徑優化問題是NP難題，高效的精確算法存在的可能性不大(除非P=NP)，所以尋找近似算法是必要和現實的，為此專家主要把精力花在構造高質量的啟發式算法上。啟發式算法是在狀態空間中的改進搜索算法，它對每一個搜索的位置進行評價，得到最好的位置，再從這個位置進行搜索直到目標。在啟發式搜索中，對位置的估價十分重要，采用不同的估價可以有不同的效果。目前已提出的啟發式算法較多，分類也相當多，按Van Breedam的分類法，主要的啟發式算法有以下幾類：構造算法、兩階段法、智能化算法。

3.2.1構造算法(ConstructiveAlgorithm)

這類方法的基本思想是：根據一些準則，每一次將一個不在線路上的點增加進線路，直到所有點都被安排進線路為止。該類算法的每一步把當前的線路構形(很可能是不可行的)跟另外的構形(也可能是不可行的)進行比較并加以改進，后者或是根據某個判別函數(例如總費用)會產生最大限度的節約的構形，或是以最小代價把一個不在當前構形上的需求對象插入進來的構形，最后得到一個較好的可行構形。這類算法中中最著名的是Clarke和Wright在1964年提出的節約算法。

構造算法最早提出來解決旅行商問題，這些方法一般速度快，也很靈活，但這類方法有時找到的解離最優解差得很遠。

3.2.2兩階段法(Two-phaseAlgorithm)

學者們通過對構造算法的研究，認為由構造算法求得的解可以被進一步改進，為此提出了兩階段法。第一階段得到一可行解，第二階段通過對點的調整，在始終保持解可行的情況下，力圖向最優目標靠近，每一步都產生另一個可行解以代替原來的解，使目標函數值得以改進，一直繼續到不能再改進目標函數值為止。Gillet和Miller于1974年提出的sweep算法，Christofides、Mingozzi和Toth的算法以及Fisher和Jaikumar的算法都屬于兩階段法。一般第一階段常用構造算法，在第二階段常用的改進技術有2-opt(Lin,1965)，3-opt(Lin Kernighan,1973)和Or-opt(Or,1976)交換法，這是一種在解的鄰域中搜索，對初始解進行某種程度優化的算法，以改進初始解。

一些基于數學規劃的算法也屬于兩階段法，把問題直接描述成一個數學規劃問題，根據其模型的特殊構形，應用一定的技術(如分解)進行劃分，進而求解己被廣泛研究過的子問題(Fisher和Jaikumar,1981)。

在兩階段法求解過程中，常常采用交互式優化技術，把人的主觀能動作用結合到問題的求解過程中，其主要思想是：有經驗的決策者具有對結果和參數的某種判斷能力，并且根據知識直感，把主觀的估計加到優化模型中去。這樣做通常會增加模型最終實現并被采用的可能性。

此方法是目前成果最豐富、應用最多的一類方法。每一種方法討論的情況不盡一致，適用范圍也不完全相同。

3.2.3智能化算法(IntelligentAlgorithm)

這類算法以啟發式準則來代替精確算法中的決策準則，以縮小解搜索的空間。

總體來看，盡管啟發式算法能夠在有限的時間內求出質量較高的解，但由于其搜索解空間的能力有所限制，因此經常無法達到預期的要求。20世紀90年代以來，由于人工智能方法在解決組合優化問題中的強大功能，不少學者開始將人工智能引入車輛路線問題的求解中，并構造了大量的基于人工智能的啟發式算法(智能化啟發式算法)。智能化啟發式算法從本質上講仍然屬于啟發式算法，其基本思想是從一初始解開始，通過對當前的解進行反復地局部擾亂(Perturbations)以達到較好的解。目前，最常見的智能化啟發式算法包括模擬退火算法(Simulated Annealing)、禁忌搜索算法(Tabu Search)、遺傳算法(Genetic Algorithm)、蟻群算法(Ant Colony)和神經網絡(Neutral Networks)方法等。

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總結

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