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公式法（卡爾丹公式）

（如右圖所示）

若用A、B換元后，公式可簡記為： x1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 一元三次方程求根公式判別法 當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛
虛根； 當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等； 當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的
實根。

一元三次方程求根公式推導

第一步： ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0） 為了方便，約去a得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ， 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)^3中的y^2項系數是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2項系數是k ， 所以相加后y^2抵消 ， 得到y^3+py+q=0， 其中p=-k^2/3+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步： 方程x^3+px+q=0的三個根為： x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 其中w=(-1+i√3)/2。 ×推導過程： 1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ； 2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。 再令x=y-s/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。 設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①， 如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立， 由一元二次方程
韋達定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。 解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 不妨設A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 則u^3=A；v^3=B ， u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ； v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ， 但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解： u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)； u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2； u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 最后： 方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 關于三次方程的韋達定理 設原方程為ax^3+b^2+cx+d=0; 由代數基本定理加上數學歸納法可推出其能分解成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)的形式（x1,x2,x3∈復數域） 所以可以推出 x1x2x3=-(d/a) x1x2+x2x3+x1x3=c/a x1+x2+x3=-b/a 這就是三次方程時的韋達定理

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總結

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