二分检索用途及复杂性_二分查找和三分查找哪个快？算法复杂度与常数无关？复杂度分析的常见误区...
還記得兩三年前，我初看一本算法書，看到二分查找算法的復(fù)雜度時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了了不得的東西：二分查找每次查詢范圍減少一半，需要查詢的次數(shù)是
，它的復(fù)雜度是
。
我把它改成三分查找，每次查詢兩個(gè)數(shù)字與我的目標(biāo)數(shù)字比較，那么我就可以把查詢范圍縮小成原先的 1 / 3。那這樣我需要的查詢次數(shù)就只有
，復(fù)雜度也是
，一下子就優(yōu)化了這么多！
那如果是四分，五分，六分，七分，豈不是能無限優(yōu)化到
？我要成為算法科學(xué)家啦！
當(dāng)然，我的想法是錯(cuò)的。但是，我錯(cuò)在哪里呢？為什么三分的復(fù)雜度看起來低了，但是卻沒有人用？好了，正文開始。
要理解這個(gè)問題，首先要知道算法的復(fù)雜度到底如何確定。什么時(shí)候我們認(rèn)為一個(gè)算法的復(fù)雜度高于另一個(gè)算法？什么時(shí)候兩個(gè)算法的復(fù)雜度其實(shí)是一樣的？
對于大部分算法來說，當(dāng)規(guī)模
趨于無窮大時(shí)，問題的求解時(shí)間都會趨于無窮大。那么你說的這個(gè)無窮大，它到底有多大？復(fù)雜度的記法，我們當(dāng)然都知道使用大
或者大
。但是，這兩個(gè)符號，到底比較的是什么？這就是這篇文章首先要回答的問題。
一句話答案，我們所說的算法復(fù)雜度的大小，其實(shí)是算法復(fù)雜度的無窮大的階數(shù)。
也就是說，如果一個(gè)算法 A 的復(fù)雜度的無窮大階數(shù)比另一個(gè)算法 B 的無窮大階數(shù)小，也就是說
，那么此時(shí) A 的復(fù)雜度更小。下面舉幾個(gè)例子： ，所以
的算法比
的算法更優(yōu)
，所以
的算法比
的算法更優(yōu)
但是如果一個(gè)算法的復(fù)雜度函數(shù)比另一個(gè)算法的復(fù)雜度函數(shù)小，但他倆的無窮大階數(shù)一樣，那么其實(shí)兩個(gè)算法的復(fù)雜度是一樣的。這里也有幾個(gè)例子： ，2 是常數(shù)。所以
的算法與
的算法復(fù)雜度一樣
，4 是常數(shù)。所以
的算法與
的算法復(fù)雜度一樣
好了，我們已經(jīng)知道如何比較兩個(gè)算法復(fù)雜度了。現(xiàn)在我們來看看為什么三分不比二分快。
答案很簡單：二分法和三分法的漸進(jìn)復(fù)雜度是一樣的。
二分法的漸進(jìn)復(fù)雜度為
，三分法的漸進(jìn)復(fù)雜度為
，這兩個(gè)復(fù)雜度都沒有問題。那為什么說這兩個(gè)是一樣的呢？
看起來就是比
小，而且算出來也確實(shí)小很多啊？
Talk is cheap，讓我們直接來比較一下它們的無窮大階數(shù)：
是個(gè)常數(shù)，因此，兩個(gè)函數(shù)是同階無窮大。二分法和三分法的漸進(jìn)復(fù)雜度其實(shí)是一樣的。
這個(gè)結(jié)論也可以推廣一下。任意取兩個(gè)對數(shù)函數(shù)
與
，比較它們的無窮大階數(shù)都會得到
，是個(gè)常數(shù)。因此對數(shù)函數(shù)的底對于算法的復(fù)雜度分析是沒有意義的。
因此，無論是二分法，三分法，四分法，五分法...復(fù)雜度都是一樣的，分的越多，代碼反而越復(fù)雜，提高你的人腦處理復(fù)雜度，不值不值。
那么，這么看來，
和
是一樣的，
和
是一樣的。那算法復(fù)雜度分析時(shí)，常數(shù)都不重要嗎？
并不是。
最常見的反例，
與
顯然復(fù)雜度不同。因?yàn)?
，
是更低階的無窮大。
當(dāng)然，大部分人可能不會在
與
的比較上犯錯(cuò)誤，但是下面這個(gè)比較，錯(cuò)的人就不少了。
和
哪個(gè)復(fù)雜度更大？
很多人以為這兩個(gè)復(fù)雜度是一樣的，因?yàn)槌?shù)不在指數(shù)位置上，看起來只是不同的常數(shù)做了指數(shù)操作，而常數(shù)一般對算法的復(fù)雜度沒有影響。
但是實(shí)際上
的無窮大階數(shù)比
要小。這兩者復(fù)雜度并不一樣。
而有人可能還覺得，就算復(fù)雜度不一樣，可能也差不太多吧？都是指數(shù)函數(shù)，本身復(fù)雜度已經(jīng)很高了啊？
但是實(shí)際上并不是這樣。我們可以把
，
，
和
放到一起比較一下。
相對于
，很多人已經(jīng)認(rèn)為是增長了太多，不太能接受了。那么
相對于
增長了多少呢？我們其實(shí)可以比較一下這兩個(gè)“增長”之間的無窮大階數(shù)。
可見， 比
差，但是它們之間相差的時(shí)間倍數(shù)只是在線性增長。而
相對于
，相差的則更多，它們之間相差的時(shí)間倍數(shù)還是在指數(shù)增長！
這是什么概念呢？
如果有一個(gè)問題規(guī)模為
，
算法可以用 1 秒解決，那么使用
的算法，你需要 20 秒才能解決。這已經(jīng)讓大部分人無法接受了。
但是，如果有一個(gè)問題規(guī)模為
，
算法可以用 1 秒解決，那么使用
的算法，你需要 3325 秒才能解決！
所以，你現(xiàn)在還覺得，
和
差不多嗎？
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的二分检索用途及复杂性_二分查找和三分查找哪个快？算法复杂度与常数无关？复杂度分析的常见误区...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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