樹狀數組 重點是在樹狀的數組

大家都知道二叉樹吧

葉子結點代表A數組A[1]~A[8]

…

現在變形一下

現在定義每一列的頂端結點C[]數組

如下圖

C[i]代表 子樹的葉子結點的權值之和// 這里以求和舉例

如圖可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

下面觀察如下圖

將C[]數組的結點序號轉化為二進制

1=(001) C[1]=A[1];

2=(010) C[2]=A[1]+A[2];

3=(011) C[3]=A[3];

4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101) C[5]=A[5];

6=(110) C[6]=A[5]+A[6];

7=(111) C[7]=A[7];

8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

對照式子可以發現 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2k+2]+…A[i]; （k為i的二進制中從最低位到高位連續零的長度）例如i=8時，k=3;

可以自行帶入驗證;

現在引入lowbit(x)

lowbit(x) 其實就是取出x的最低位1 換言之 lowbit(x)=2^k k的含義與上面相同 理解一下

下面說代碼

int lowbit(int t)
{
return t&(-t);
}
//-t 代表t的負數 計算機中負數使用對應的正數的補碼來表示
//例如 :
// t=6（0110） 此時 k=1
//-t=-6=(1001+1)=(1010)
// t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2k+2]+…A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+…A[i];

*************************************************分割線

區間查詢

ok 下面利用C[i]數組，求A數組中前i項的和

舉個例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i項和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序號寫為二進制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再舉個例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i項和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];

可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];

序號寫為二進制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

細細觀察二進制 樹狀數組追其根本就是二進制的應用

結合代碼

int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=C[i];
return ans；
}
對于i=7 進行演示

7(111) ans+=C[7]

lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]

lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

對于i=5 進行演示

5(101) ans+=C[5]

lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

*************************************************分割線

單點更新

當我們修改A[]數組中的某一個值時 應當如何更新C[]數組呢？

回想一下 區間查詢的過程，再看一下上文中列出的圖

結合代碼分析

void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=y;
}
//可以發現 更新過程是查詢過程的逆過程
//由葉子結點向上更新C[]數組

如圖：

當更新A[1]時 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]

C[1], C[2], C[4], C[8]

寫為二進制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]

1(001) C[1]+=A[1]

lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]

lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]

lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]

相關題目：

http://poj.org/problem?id=2299

http://codeforces.com/contest/703/problem/D

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=1270&pid=3

總結

以上是生活随笔為你收集整理的树状数组基本用法详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。