題目描述
如果一個(gè)序列滿足下面的性質(zhì)，我們就將它稱為擺動(dòng)序列：

序列中的所有數(shù)都是不大于k的正整數(shù)；

序列中至少有兩個(gè)數(shù)。

序列中的數(shù)兩兩不相等；

如果第i – 1個(gè)數(shù)比第i – 2個(gè)數(shù)大，則第i個(gè)數(shù)比第i – 2個(gè)數(shù)小；如果第i – 1個(gè)數(shù)比第i – 2個(gè)數(shù)小，則第i個(gè)數(shù)比第i – 2個(gè)數(shù)大。
比如，當(dāng)k = 3時(shí)，有下面幾個(gè)這樣的序列：
1 2
1 3
2 1
2 1 3
2 3
2 3 1
3 1
3 2
一共有8種，給定k，請(qǐng)求出滿足上面要求的序列的個(gè)數(shù)。
輸入
輸入包含了一個(gè)整數(shù)k。（k< =20）
輸出
輸出一個(gè)整數(shù)，表示滿足要求的序列個(gè)數(shù)。
樣例輸入
3
樣例輸出
8
思路：一開(kāi)始以為是記憶化搜索，但是沒(méi)想出怎么記憶化，就暴力dfs+回溯試了一下，發(fā)現(xiàn)數(shù)列收斂的很快，沒(méi)有特別長(zhǎng)的那種，所以時(shí)間復(fù)雜度是允許的（k<=20）。
代碼如下：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std;const int maxx=2e1+1; int a[maxx],vis[maxx]; int n;inline void dfs(int num,int &ans) {if(num>n) return ;if(num>=2){ans++;if(a[num]>a[num-1]) {for(int i=a[num-1]-1;i>=1;i--){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=i;}}}else{for(int i=a[num-1]+1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}}}else{for(int i=a[num]-1;i>=1;i--){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}for(int i=a[num]+1;i<=n;i++){if(vis[i]==0){a[num+1]=i;vis[i]=1;dfs(num+1,ans);vis[i]=0;a[num+1]=0;}}} } int main() {scanf("%d",&n);int ans=0;memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++){a[1]=i;vis[i]=1;dfs(1,ans);vis[i]=0;}cout<<ans<<endl;return 0; }

如果k再大一點(diǎn)，dfs就不是那么好了，因?yàn)榛厮莺臅r(shí)也很大。那么我們考慮dp的方式。我們可以根據(jù)dfs的結(jié)果，建立一個(gè)表，在里面尋找規(guī)律。如下圖所示（圖片來(lái)源）：

縱坐標(biāo)代表的是k的取值，橫坐標(biāo)代表的是在這k個(gè)數(shù)中選取的數(shù)的個(gè)數(shù)。
我們可以發(fā)現(xiàn)，橫坐標(biāo)為2的時(shí)候，答案總是(k-1)*k。橫坐標(biāo)再大的時(shí)候，我們就可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1].
代碼如下：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std;const int maxx=2e2+100; int dp[maxx][maxx]; int n;int main() {scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++) dp[i][2]=(i-1)*i;for(int j=3;j<=n;j++){for(int i=3;i<=n;i++) dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];}int ans=0;for(int i=2;i<=n;i++) ans+=dp[n][i];cout<<ans<<endl;return 0; }

時(shí)間復(fù)雜度僅僅為O(n^2)。
努力加油a啊，(^o)/~

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[蓝桥杯][算法训练VIP]摆动序列（深搜+回溯||动态规划）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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