1. 離散時間傅里葉變換的導出

針對離散時間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，我們將采用與連續情況下完全類似的步驟進行。

考慮某一序列 \(x[n]\)，它具有有限持續期；也就是說，對于某個整數 \(N_1\) 和 \(N_2\)，在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 以外，\(x[n]=0\)。下圖給出了這種類型的一個信號。

由這個非周期信號可以構成一個周期序列 \(\tilde x[n]\)，使 \(x[n]\) 就是 \(\tilde x[n]\) 的一個周期。隨著 \(N\) 的增大，\(x[n]\) 就在一個更長的時間間隔內與 \(\tilde x[n]\) 相一致。而當 \(N\to \infty\)，對任意有限時間值 \(n\) 而言，有 \(\tilde x[n]=x[n]\)。

現在我們來考慮一下 \(\tilde x[n]\) 的傅里葉級數表示式

\[\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n} \]

\[\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]

因為在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 區間的一個周期上 \(\tilde x[n]=x[n]\)，因此我們將上式的求和區間就選在這個周期上

\[\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]

現定義函數

\[\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]

可見這些系數 \(a_k\) 正比于 \(X(e^{j\omega})\) 的各樣本值，即

\[\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0}) \]

式中，\(\omega_0=2\pi/N\) 用來記作在頻域中的樣本間隔。將（1） 和 （5）結合在一起，\(\tilde x[n]\) 就可以表示為

\[\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0 \]

隨著 \(N\to \infty\)，\(\tilde x[n]\) 趨近于 \(x[n]\)，式（6）的極限就變成 \(x[n]\) 的表達式。再者，當 \(N\to \infty\) 時，有 \(\omega_0\to 0\)，式（6）的右邊就過渡為一個積分。

右邊的每一項都可以看作是高度為 \(X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\) 寬度為 \(\omega_0\) 的矩形的面積。而且，因為這個求和是在 \(N\) 個 \(\omega_0=2\pi/N\) 的間隔內完成的，所以總的積分區間總是有一個 \(2\pi\) 的寬度。式（6）和式（4）就分別變成

\[\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega} \]

\[\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}} \]

（7）式和 （8）式被稱為離散時間傅里葉變換對。函數 \(X(j\omega)\) 稱為 \(X(t)\) 的離散時間傅里葉變換，也通常被稱為頻譜。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. 周期信號的傅里葉變換

考慮如下信號

\[\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n} \]

其傅里葉變換是如下的沖激串

\[\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) \]

為了驗證該式，必須求出其對應的反變換

\[\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega \]

注意，在任意一個長度為 \(2\pi\) 的積分區間內，在上式的和中真正包括的只有一個沖激，因此，如果所選的積分區間包含在 \(\omega_0+2\pi r\) 處的沖激，那么

\[\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n} \]

現在考慮一周期序列 \(x[n]\)，周期為 \(N\)，其傅里葉級數為

\[\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n} \]

這時，傅里葉變換就是

\[\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega – k\omega_0 – 2\pi l) \]

這樣，一個周期信號的傅里葉變換就能直接從它的傅里葉級數系數得到。

3. 離散時間傅里葉變換性質

為了方便，我們將 \(x[n]\) 和 \(X(e^{j\omega})\) 這一對傅里葉變換用下列符號表示

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

3.1. 離散時間傅里葉變換的周期性

\[\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})} \]

3.2. 線性

若

\[x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) \]

和

\[x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) \]

則

\[\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})} \]

3.3. 時移與頻移性質

若

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

則

\[\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})} \]

\[\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})} \]

3.4. 共軛及共軛對稱性

若

\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]

則

\[\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})} \]

共軛性質就能證明，若 \(x(t)\) 為實函數，那么 \(X(j\omega)\) 就具有共軛對稱性，即

\[\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 為實]} \]

這就是說，離散傅里葉變換的實部是頻率的偶函數，而虛部則是頻率的奇函數。

3.5. 差分與累加

\[\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})} \]

\[\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)} \]

3.6. 時間反轉

\[\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})} \]

3.7. 時域擴展

若令 是一個正整數，并且定義

\[\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 當\space n \space為\space k\space的整數倍 \\ 0, &\text 當\space n \space不為\space k\space的整數倍 \end{cases}\]

\[\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})} \]

3.8. 頻域微分

\[\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} } \]

3.9. 帕斯瓦爾定理

\[\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega } \]

3.10. 卷積性質

\[\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})} \]

兩個信號在時域內的卷積就等于它們傅里葉變換的乘積。

3.11. 相乘性質

\[\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta} \]

兩個信號在時域內的相乘就對應于頻域內的周期卷積。

4. 傅里葉變換性質和基本傅里葉變化列表

5. 離散時間傅里葉變換和連續時間傅里葉級數之間的對偶型

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總結

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