点乘叉乘坐标公式_点积与叉乘的运算与物理意义
原文：http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353
向量是由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的一個(gè)n行1列(n*1)或一個(gè)1行n列(1*n)的有序數(shù)組；
向量的點(diǎn)乘,也叫向量的內(nèi)積、數(shù)量積，對兩個(gè)向量執(zhí)行點(diǎn)乘運(yùn)算，就是對這兩個(gè)向量對應(yīng)位一一相乘之后求和的操作，點(diǎn)乘的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。
點(diǎn)乘公式
對于向量a和向量b：
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a和b的點(diǎn)積公式為：
要求一維向量a和向量b的行列數(shù)相同。
點(diǎn)乘幾何意義
點(diǎn)乘的幾何意義是可以用來表征或計(jì)算兩個(gè)向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
推導(dǎo)過程如下，首先看一下向量組成：
定義向量：
根據(jù)三角形余弦定理有：
根據(jù)關(guān)系c=a-b(a、b、c均為向量)有：
即：
向量a，b的長度都是可以計(jì)算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：
根據(jù)這個(gè)公式就可以計(jì)算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進(jìn)一步判斷這兩個(gè)向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關(guān)系，具體對應(yīng)關(guān)系為：
a·b>0 ? ?方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 ? ?正交，相互垂直
a·b<0 ? ?方向基本相反，夾角在90°到180°之間
叉乘公式
兩個(gè)向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量。并且兩個(gè)向量的叉積與這兩個(gè)向量組成的坐標(biāo)平面垂直。
對于向量a和向量b：
a和b的叉乘公式為：
其中：
根據(jù)i、j、k間關(guān)系，有：
叉乘幾何意義
在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結(jié)果是一個(gè)向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直于a和b向量構(gòu)成的平面。
在3D圖像學(xué)中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個(gè)向量的叉乘，生成第三個(gè)垂直于a，b的法向量，從而構(gòu)建X、Y、Z坐標(biāo)系。如下圖所示：
在二維空間中，叉乘還有另外一個(gè)幾何意義就是：aXb等于由向量a和向量b構(gòu)成的平行四邊形的面積。
向量：u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)
叉積公式：u x v = { u2v3-v2u3 ,u3v1-v3u1 ,u1v2-u2v1 }
點(diǎn)積公式：u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)
對于向量的運(yùn)算,還有兩個(gè)“乘法”,那就是點(diǎn)乘和叉乘了.點(diǎn)乘的結(jié)果就是兩個(gè)向量的模相乘,然后再與這兩個(gè)向量的夾角的余弦值相乘.或者說是兩個(gè)向量的各個(gè)分量分別相乘的結(jié)果的和.很明顯,點(diǎn)乘的結(jié)果就是一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)對我們分析這兩個(gè)向量的特點(diǎn)很有幫助.如果點(diǎn)乘的結(jié)果為0,那么這兩個(gè)向量互相垂直；如果結(jié)果大于0,那么這兩個(gè)向量的夾角小于90度；如果結(jié)果小于0,那么這兩個(gè)向量的夾角大于90度.對于叉乘,它的運(yùn)算公式令人頭暈,我就不說了,大家看下面的公式自己領(lǐng)悟吧……
向量c的方向與a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法則”判斷(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝著手心的方向擺動到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向).
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
則
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b=
| i j k|
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
(i、j、k分別為空間中相互垂直的三條坐標(biāo)軸的單位向量).
叉乘的意義就是通過兩個(gè)向量來確定一個(gè)新的向量,該向量與前兩個(gè)向量都垂直
總結(jié)
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