尼姆博奕(Nimm Game)：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。

這種情況最有意思，它與二進制有密切關系，我們用(a，b，c)表示某種局勢，首先(0，0，0)顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是

(0，n，n)，只要與對手拿走一樣多的物品，最后都將導致(0，0，0)。仔細分析一下，(1，2，3)也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為(0，n，n)的情

形。

計算機算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號(+)表示這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看(1，2，3)的按位模2加的結

果：

1 =二進制01

2 =二進制10

3 =二進制11 (+)

———————

0 =二進制00 (注意不進位)

對于奇異局勢(0，n，n)也一樣，結果也是0。

任何奇異局勢(a，b，c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我們面對的是一個非奇異局勢(a，b，c)，要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b< c,我們只要將 c 變為 a(+)b,即可,因為有如下的運算結果: a(+)b(+)(a(+)

b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要將c 變為a(+)b，只要從 c中減去 c-(a(+)b)即可。

例1。(14，21，39)，14(+)21=27，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達

到奇異局勢(14，21，27)。

例2。(55，81，121)，55(+)81=102，121-102=19，所以從121中拿走19個物品

就形成了奇異局勢(55，81，102)。

例3。(29，45，58)，29(+)45=48，58-48=10，從58中拿走10個，變為(29，4

5，48)。

例4。我們來實際進行一盤比賽看看：

甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢

乙:(1,8,9)->(1,8,4)

甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢

乙:(1,5,4)->(1,4,4)

甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢

乙:(0,4,4)->(0,4,2)

甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢

乙:(0,2,2)->(0,2,1)

甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢

乙:(0,1,1)->(0,1,0)

甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢

甲勝。

題目1：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根，

可將一堆全取走，但不可不取，最后取完者為勝，求必勝的方法。

題目2：今有若干堆火柴，兩人依次從中拿取，規定每次只能從一堆中取若干根，

可將一堆全取走，但不可不取，最后取完者為負，求必勝的方法。

嘿嘿，這個游戲我早就見識過了。小時候用珠算玩這個游戲：第一檔撥一個，第二檔撥兩個，依次直到第五檔撥五個。然后兩個人就輪流再把棋子撥下來，誰要是最后一個撥誰就贏。有一次暑假看見兩個小孩子在玩這個游戲，我就在想有沒有一個定論呢。下面就來試著證明一下吧

先解決第一個問題吧。

定義：若所有火柴數異或為0，則該狀態被稱為利他態，用字母T表示；否則，

為利己態，用S表示。

[定理1]：對于任何一個S態，總能從一堆火柴中取出若干個使之成為T態。

證明：

若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴數，那么既然現在處于S態，

c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;

把c表示成二進制，記它的二進制數的最高位為第p位，則必然存在一個A(t),它二進制的第p位也是1。(否則，若所有的A(i)的第p位都是0，這與c的第p位就也為0矛盾)。

那么我們把x = A(t) xor c,則得到x < A(t).這是因為既然A(t)的第p位與c的第p位同為1,那么x的第p位變為0,而高于p的位并沒有改變。所以x < A(t).而

A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n)

= A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n)

= A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n)

= 0

這就是說從A(t)堆中取出 A(t) - x 根火柴后狀態就會從S態變為T態。證畢

[定理2]：T態，取任何一堆的若干根，都將成為S態。

證明：用反證法試試。

若

c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0；

c' = A(1) xor A(2) xor … xor A(i') xor c xor … xor A(n) = 0;

則有

c xor c' = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i') xor c xor … xor A(n) = A(i) xor A(i') =0

進而推出A(i) = A(i')，這與已知矛盾。所以命題得證。

[定理 3]：S態，只要方法正確，必贏。

最終勝利即由S態轉變為T態，任何一個S態，只要把它變為T態，(由定理1，可以把它變成T態。)對方只能把T態轉變為S態(定理2)。這樣，所有S態向T態的轉變都可以有己方控制，對方只能被動地實現由T態轉變為S態。故S態必贏。

[定理4]：T態，只要對方法正確，必敗。

由定理3易得。

接著來解決第二個問題。

定義：若一堆中僅有1根火柴，則被稱為孤單堆。若大于1根，則稱為充裕堆。

定義：T態中，若充裕堆的堆數大于等于2，則稱為完全利他態，用T2表示；若充裕堆的堆數等于0，則稱為部分利他態，用T0表示。

孤單堆的根數異或只會影響二進制的最后一位，但充裕堆會影響高位(非最后一位)。一個充裕堆，高位必有一位不為0，則所有根數異或不為0。故不會是T態。

[定理5]：S0態，即僅有奇數個孤單堆，必敗。T0態必勝。

證明：

S0態，其實就是每次只能取一根。每次第奇數根都由己取，第偶數根都由對

方取，所以最后一根必己取。敗。同理,?? T0態必勝#

[定理6]：S1態，只要方法正確，必勝。

證明：

若此時孤單堆堆數為奇數，把充裕堆取完；否則，取成一根。這樣，就變成奇數個孤單堆，由對方取。由定理5，對方必輸。己必勝。?? #

[定理7]：S2態不可轉一次變為T0態。

證明：

充裕堆數不可能一次由2變為0。得證。?? #

[定理8]：S2態可一次轉變為T2態。

證明：

由定理1，S態可轉變為T態，態可一次轉變為T態，又由定理6，S2態不可轉一次變為T0態，所以轉變的T態為T2態。?? #

[定理9]：T2態，只能轉變為S2態或S1態。

證明：

由定理2，T態必然變為S態。由于充裕堆數不可能一次由2變為0，所以此時的S態不可能為S0態。命題得證。

[定理10]：S2態，只要方法正確，必勝.

證明：

方法如下：

1)?? S2態，就把它變為T2態。(由定理8)

2)?? 對方只能T2轉變成S2態或S1態(定理9)

若轉變為S2,?? 轉向1)

若轉變為S1,?? 這己必勝。(定理5)

[定理11]：T2態必輸。

證明：同10。

綜上所述，必輸態有：?? T2,S0

必勝態：??? S2,S1,T0.

兩題比較：

第一題的全過程其實如下：

S2->T2->S2->T2->?? ……?? ->T2->S1->T0->S0->T0->……->S0->T0(全0)

第二題的全過程其實如下：

S2->T2->S2->T2->?? ……?? ->T2->S1->S0->T0->S0->……->S0->T0(全0)

下劃線表示勝利一方的取法。?? 是否發現了他們的驚人相似之處。

我們不難發現(見加黑部分)，S1態可以轉變為S0態(第二題做法)，也可以轉變為

T0(第一題做法)。哪一方控制了S1態，他即可以有辦法使自己得到最后一根(轉變為

T0),也可以使對方得到最后一根(轉變為S0)。

所以，搶奪S1是制勝的關鍵！

為此，始終把T2態讓給對方，將使對方處于被動狀態，他早晚將把狀態變為S1.

博弈算法入門小節 1536 1517 1907

小子最近迷途于博弈之中。。。感觸頗深。

為了讓大家能夠在學習博弈的時候少走彎路，最重要的也是為了加深自己的影響，溫故而知新，特發此貼與大家共勉。

學博弈先從概念開始：

特別推薦LCY老師的課件：博弈入門。

下載地址：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=6875

這個課件個人認為從博弈的基本思想，一直到解博弈的中心算法做了很好的詮釋。但是特別要注意的是。課件后面一部分英語寫的講義是重中之重。小子英語很弱，在這困擾很久。現在為大家大概介紹一下。

主要是后繼點和SG值的問題:

SG值：一個點的SG值就是一個不等于它的后繼點的SG的且大于等于零的最小整數。

后繼點：也就是按照題目要求的走法(比如取石子可以取的數量，方法)能夠走一步達到的那個點。

具體的有關SG值是怎么運用的希望大家自己多想想。

課件后面有一個1536的代碼。可以放在后面做做

看到這里推薦大家做幾道題：1846(最簡單的博弈水題)

1847(求SG值)

有了上面的知識接下來我們來看看組合博弈(n堆石子)

推薦大家看個資料：

博弈-取石子游戲(推薦等級五星級)

http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=20&tid=5748

http://hi.baidu.com/netnode/blog/item/30932c2edc7384514fc226ea.html

這里提出了一個奇異狀態的問題。看了這篇文章你會發現異或運算在博弈中使用的妙處。當然這里指出的只是組合博弈中一種特殊情況。

王道還是對SG值的求解，但是知道這么一種思路無疑對思維的廣度和深度擴展是很有幫助的。

ZZ博弈

http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617

這里介紹了組和博弈的兩種大的類型，一種是最后取的是N狀態一種是最后取的是P狀態，兩個狀態的解題方法能看懂很有幫助。當然，能夠把推導過程理解，吃透無疑是大牛級的做法~小子也佩服的緊~

1536題推薦做做這題，這題前面提醒大家是一個求SG值的題目，題目前面是對異或運算運用在組合博弈問題中的很好的解釋。當然題目本身是有所不同的。因為在這里面對取法有所要求。那么這樣就回歸到了解決博弈問題的王道算法——求SG值上。

有關運用求SG值的博弈題目有： 1850(也可基于奇異狀態異或)

1848(中和的大斐波那契數列的典型求SG值題)

1517(個人認為有點猥瑣的題目。。。。在此題上困擾很久。當然搞出來很開心。小子是用比較規矩的求SG值的方法求出來的，但是論壇有人對其推出來了規律，這里佩服一下，大家可以學習一下)

1079(更猥瑣的題目，對新手要求較高，因為按傳統方法需要比較細致的模擬加對邊角狀態的考慮，同樣有人推出來了公式)

當你全部看完以上的東西。做完以上的題目的話。。。小子恭喜你~你博弈入門了~~~~

這里小子告訴大家。博弈很強大。學習要耐心~謝謝

Current System Time : 2008-12-11 19:16:03

ACM課作業：

1001 Brave Game

1002 Good Luck in CET-4 Everybody!

1003 Fibonacci again and again

1004 Rabbit and Grass

1005 Being a Good Boy in Spring Festival

1006 Public Sale

1007 悼念512汶川大地震遇難同胞——選拔志愿者

1008 kiki’s game

1009 Calendar Game

1010 A Multiplication Game

1011 Digital Deletions

1012 S-Nim

http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=11339&fpage=0&toread=&page=1

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言 Nimm game算法,尼姆博奕（Nimm Game）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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