概括：這道題是蓬突壓同學的課后數學練習題，主要是關于素數定理，指導老師為蘇老師。

題目：素數定理解：

定理描述素數素數的大致分布情況.素數的出現規律一直困惑著數學家.一個個地看,素數在正整數中的出現沒有什么規律.可是總體地看,素數的個數竟然有規可循.對正實數x,定義π(x)為不大于x的素數個數.數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長.以下是第一個這樣的估計.:\pi(x)\approx\frac 其中ln x為x的自然對數.上式的意思是當x趨近∞,π(x) 和x/ln x的比趨近1(注：該結果為高斯所發現).但這不表示它們的數值隨著x增大而接近.下面是對π(x)更好的估計：:\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right),當 x 趨近∞.其中 (x) = \int_2^x \frac,而關系式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號.下表比較了π(x),x/ln x和Li(x)：x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)

舉一反三

例1：

【“素數的唯一分解定理”是個啥?rt】[數學練習題]

思路提示：

每一個大于1的整數都可以表示成若干素數的乘積形式,如果不考慮順序,這種表示是唯一的.

例2：

請問質數的定義是什么大質數加密的原理是什么

思路提示：

只能被1和本身整除的數叫質數,例如13,質數是無窮多的.得到兩個巨大質數的乘積是簡單的事,但想從該乘積反推出這兩個巨大質數卻沒有任何有效的辦法,這種不可逆的單向數學關系,是國際數學界公認的質因數分解難題.

R、S、A三人巧妙利用這一假說,設計出RSA公匙加密算法的基本原理：1、讓計算機隨機生成兩個大質數p和q,得出乘積n；2、利用p和q有條件的生成加密密鑰e；3、通過一系列計算,得到與n互為質數的解密密鑰d,置于操作系統才知道的地方；4、操作系統將n和e共同作為公匙對外發布,將私匙d秘密保存,把初始質數p和q秘密丟棄.

國際數學和密碼學界已證明,企圖利用公匙和密文推斷出明文--或者企圖利用公匙推斷出私匙的難度等同于分解兩個巨大質數的積.這就是Eve不可能對Alice的密文解密以及公匙可以在網上公布的原因.

至于"巨大質數"要多大才能保證安全的問題不用擔心：利用當前可預測的計算能力,在十進制下,分解兩個250位質數的積要用數十萬年的時間；并且質數用盡或兩臺計算機偶然使用相同質數的概率小到可以被忽略.

例3：

陳景潤“1+2”定理：一個偶數=一個質數+一個質數×一個質數，其中偶數必須充分大．請根據這個定理分一分下面的偶數．20=______+______×______30=______+______×______40=______+______×______．[數學練習題]

思路提示：

由題意得：

20=5+3×5；

30=5+5×5；

40=5+5×7；

故答案為：5，3，5；5，5，5；5，5，7．

例4：

質數與合數定理都有哪些?[數學練習題]

思路提示：

質數就是只有1和它本身這兩個因數(如1,2,3,5,7,11……)

合數不止兩個因數(4,6,8,9……)

相關思考練習題：

題1：素數定理的介紹

點撥：定理描述素數的比較準確的分布情況。素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素數在正整數中的出現沒有什么規律。可是總體地看，素數的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為不大于x的素數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長...

題2：素數定理是什么？

點撥：質數又稱素數。指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數(1和自己)的自然數即為素數。比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。合數是由若干個質數相乘而得到的。所以...

題3：素數定理何時證明出來的 a，1893年 b，1894年 c，1...

點撥：那只是以,e，為底的近似于對數的算。很不正確，推算數據越大誤差越大。請看看我的“終極素數定理”既自然、正確、全面。確是一個完美的定理。丌(X)=X*(Pi-1)！/Pi！+i 這是終極素數定理的函數式供大家分享。我是瑞安市何世梁

題4：關于一個素數定理的證明

點撥：因為gcd(a,n)=1可以推出a^(\phi(n)-1) = 1 (mod n) 【費馬小定理的一般形式，證明可以考慮一個mod n的完全剩余系】 然后由定理2的條件知道\phi(n)不能是1到n-2，所以只能是\phi(n)=n-1。(定理2條件中是否應該是小于等于n-1？也可以證明除了n=4...

題5：證明素數定理

點撥：這個不是素數定理, 而是Bertrand假設(也叫Bertrand-Chebyshev定理), 自己去搜一下證明就行了

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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