今天講一個(gè)短平快的問(wèn)題。

很多人對(duì)機(jī)械波的能量感到困惑，為什么處于平衡位置的媒質(zhì)的質(zhì)元的彈性勢(shì)能反而是最大的？為什么質(zhì)元的動(dòng)能與勢(shì)能同步變化？

當(dāng)然，你可能會(huì)根據(jù)一些特例來(lái)幫助理解這些問(wèn)題。例如，抖動(dòng)一根水平繩產(chǎn)生橫波時(shí)，你注意到那些位于平衡的位置，因?yàn)閮蛇吺艿降睦χ赶蛳喾捶较颍孕巫兪亲顓柡Φ模欢幵谧罡呋蜃畹忘c(diǎn)的那些位置，兩邊受到的力指向同一方向，雖然具有最大的加速度，但本身的形變卻為零。所以勢(shì)能最大的位置應(yīng)該在平衡位置。

如果用力抖動(dòng)一根軟彈簧形成橫波，那么會(huì)看到平衡位置處，彈簧形變最明顯，而最低和最高點(diǎn)幾乎還是原樣，如下圖所示。

至于動(dòng)能，你也容易想到一個(gè)屢試不爽的規(guī)律：平衡位置的加速度為零，速度必然最大，所以動(dòng)能就是最大。

如此一來(lái)，動(dòng)能和勢(shì)能同步達(dá)到最大，當(dāng)然也會(huì)同步達(dá)到最小，所以它們同步變化的規(guī)律就坐實(shí)了。

但若要較真，機(jī)械波的能量的規(guī)律到底該怎么得到呢？那你還得用一點(diǎn)數(shù)學(xué)。下面較詳細(xì)的給出一個(gè)推理分析的過(guò)程。

考慮一根長(zhǎng)為的彈簧被拉伸了，它的彈性勢(shì)能是多少？

學(xué)過(guò)高中物理的你，當(dāng)然知道是下面這樣的

其中為倔強(qiáng)系數(shù)。如果彈簧的材料和粗細(xì)確定，更長(zhǎng)的彈簧，倔強(qiáng)系數(shù)更小，這個(gè)應(yīng)該很好理解，彈簧越長(zhǎng)，拉起來(lái)當(dāng)然就沒(méi)那么費(fèi)力了。按此規(guī)律，可將倔強(qiáng)系數(shù)寫(xiě)成其中是一個(gè)常數(shù)，取決于彈簧的粗細(xì)和材料性質(zhì)。

那么上面的勢(shì)能可以寫(xiě)成這里故意拼湊了一個(gè)新變量 ——，即相對(duì)伸長(zhǎng)量。由于是常量，所以，對(duì)某個(gè)彈簧（材料、粗細(xì)和原長(zhǎng)確定），其儲(chǔ)存的勢(shì)能由它的相對(duì)伸長(zhǎng)量決定。

如果彈簧是被壓縮的，只不過(guò)，能量表達(dá)式也是一樣的。

總之，彈簧的相對(duì)形變量決定它的勢(shì)能！

那么，對(duì)一段長(zhǎng)為的媒質(zhì)，它所儲(chǔ)存的勢(shì)能也是類(lèi)似的：取決于它的相對(duì)形變量。

你可能認(rèn)為，這段媒質(zhì)的中心的偏移量會(huì)產(chǎn)生勢(shì)能，這其實(shí)是一種錯(cuò)覺(jué)。媒質(zhì)中各點(diǎn)的絕對(duì)偏移量并不一定會(huì)形成彈性勢(shì)能！

想象你手里拿著的一把尺子，假設(shè)它現(xiàn)在整體移動(dòng)一段距離，很顯然，整個(gè)尺子的重力勢(shì)能的確變了，但始終沒(méi)有形變，所以也沒(méi)有彈性勢(shì)能！但顯然，尺子上各點(diǎn)不是發(fā)生了偏移嗎？！

所以，從根本上說(shuō)，只有當(dāng)內(nèi)部各點(diǎn)的位移不同，導(dǎo)致各點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)位移，也就是物質(zhì)產(chǎn)生了形變時(shí)，才會(huì)形成彈性勢(shì)能。

很顯然，機(jī)械波的媒質(zhì)就是最好的代表的呀！

對(duì)機(jī)械波來(lái)說(shuō)，波函數(shù)的變量是描述媒質(zhì)中點(diǎn)的偏移量的。它是位置和時(shí)間的函數(shù)，換句話說(shuō)，同時(shí)刻不同點(diǎn)的偏移量不一致呀！所以自然會(huì)導(dǎo)致各點(diǎn)之間發(fā)生相對(duì)位移，也就是波的媒質(zhì)發(fā)生形變，這就能導(dǎo)致彈性勢(shì)能啦！

那么，媒質(zhì)中的勢(shì)能隨位置變化的規(guī)律是怎樣的呢？

考慮某個(gè)確定的時(shí)刻，波表現(xiàn)為一條曲線 —— 波形曲線。

它描繪媒質(zhì)中各點(diǎn)偏移量隨坐標(biāo)的變化情況，用函數(shù)表示為

當(dāng)位置產(chǎn)生的增量時(shí)，偏移量也產(chǎn)生一個(gè)增量。

現(xiàn)在分析媒質(zhì)中一段原長(zhǎng)為的質(zhì)元。

形變前，它的兩端坐標(biāo)分別是和。

形變后，兩端點(diǎn)的縱向偏移量分別是和。左端坐標(biāo)變?yōu)?，而右端坐標(biāo)變?yōu)?++。

因此，形變后的媒質(zhì)的長(zhǎng)度是+，絕對(duì)伸長(zhǎng)量為，故相對(duì)原長(zhǎng)的相對(duì)形變 —— 相對(duì)伸長(zhǎng)量為

按照前面講的相對(duì)伸長(zhǎng)量決定勢(shì)能的規(guī)律，這段原長(zhǎng)為的質(zhì)元現(xiàn)儲(chǔ)存的勢(shì)能為

如果將右側(cè)的移到左邊相除，則得到的是該段介質(zhì)內(nèi)的平均勢(shì)能密度，故仿照平均速度到瞬時(shí)速度的過(guò)渡方式 —— 將時(shí)間得到任意時(shí)刻的速度，現(xiàn)在考慮無(wú)限小的一段介質(zhì)，上式中的，無(wú)窮小量變成微分量，用代替，則得介質(zhì)中任意點(diǎn)的勢(shì)能密度為

看到了吧！兩個(gè)微分相除導(dǎo)致微商，這樣就得到導(dǎo)數(shù)了。

實(shí)際上，考慮任意時(shí)刻的情形，是和的函數(shù)，故應(yīng)用偏導(dǎo)符號(hào)代替重寫(xiě)為這下好了！誰(shuí)的導(dǎo)數(shù)？偏移量對(duì)質(zhì)元坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，也就是質(zhì)元的偏移量對(duì)坐標(biāo)的變化率！這不就是波形曲線上某一點(diǎn)切線的斜率嗎？

所以，媒質(zhì)中質(zhì)元的勢(shì)能取決于波形曲線上的切線的斜率，斜率絕對(duì)值越大，勢(shì)能越大，絕對(duì)值越小，勢(shì)能就越小。

很顯然，波形曲線上，平衡位置處的斜率絕對(duì)值最大啊！所以這個(gè)位置的勢(shì)能最大！什么地方斜率為零？當(dāng)然就是波峰和波谷處，所以這些位置的勢(shì)能為零！

實(shí)際上，根據(jù)正弦和余弦之間互為導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，更一般的規(guī)律可從上圖看出。

上面的推導(dǎo)是按照縱波來(lái)進(jìn)行的，如果是橫波，物質(zhì)會(huì)發(fā)生橫向形變，計(jì)算稍微復(fù)雜一點(diǎn)，但最終的規(guī)律是一致的。

下面再進(jìn)一步來(lái)看機(jī)械波能量的表達(dá)式。

首先是勢(shì)能部分。

由上面的分析可知，要得到勢(shì)能的確切的表達(dá)式，就要確定式中的的值，它反映這段媒質(zhì)的倔強(qiáng)系數(shù)除了長(zhǎng)度之外的其它影響。那么，這些所謂“其它影響”有哪些呢？

材料的彈性？對(duì)！確切的叫彈性模量。還有呢？這段媒質(zhì)的粗細(xì)？肯定越粗越難對(duì)付吧？沒(méi)錯(cuò)！

彈性模量這個(gè)東西，是針對(duì)固體來(lái)說(shuō)的，對(duì)液體來(lái)說(shuō)，也有相應(yīng)的那個(gè)量。總之，就是物體本身的彈性性質(zhì)。

假設(shè)彈性模量用表示，媒質(zhì)的粗細(xì)，也就是它的底面積用表示，則得據(jù)此，上面的勢(shì)能可表示為這其中，正好就是媒質(zhì)的體積；而一般來(lái)說(shuō)，彈性模量與波速的關(guān)系為其中是密度，根據(jù)，上面的勢(shì)能可寫(xiě)成如果考察一個(gè)段媒質(zhì)的微元，則上式為將波函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)代入，即得勢(shì)能的表達(dá)式為再看動(dòng)能部分。

這段介質(zhì)在振動(dòng)，所以具有動(dòng)能。動(dòng)能很簡(jiǎn)單，直接按動(dòng)能的表達(dá)式，即

其中是媒質(zhì)的振動(dòng)速度 —— 注意，媒質(zhì)并沒(méi)有隨著波運(yùn)動(dòng)！所以這里的不是波速，而是媒質(zhì)偏移的速度 —— 振動(dòng)速度，按照速度的定義就是得到動(dòng)能為

這才發(fā)現(xiàn)，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能隨位置和時(shí)間的變化規(guī)律竟然完全一樣，用更物理的語(yǔ)言說(shuō)，它倆是同幅同相變化的，對(duì)確定點(diǎn)，二者的值每時(shí)刻都完全一致！

機(jī)械波的能量是動(dòng)能與勢(shì)能之和，那么自然的，質(zhì)元的機(jī)械能為即可化為這下徹底看清楚了，能量與坐標(biāo)和時(shí)間相關(guān)的部分具有簡(jiǎn)諧波的標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，機(jī)械波的能量本身也形成一個(gè)簡(jiǎn)諧波，它的頻率是波的頻率的兩倍。對(duì)簡(jiǎn)諧波來(lái)說(shuō)，能量的傳播速度就是波本身的速度，即相速度。

既然簡(jiǎn)諧波的能量隨時(shí)間周期變化，說(shuō)明簡(jiǎn)諧波的媒質(zhì)的質(zhì)元的能量并不守恒，這一點(diǎn)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)不同。很多人覺(jué)得這一點(diǎn)違反直覺(jué)。他們認(rèn)為：簡(jiǎn)諧波的媒質(zhì)的質(zhì)元不都在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？既然如此，質(zhì)元的能量應(yīng)該是守恒的呀！？

問(wèn)題的癥結(jié)在于，簡(jiǎn)諧波的質(zhì)元并不是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)橄噜彽馁|(zhì)元之間有力的作用，所以質(zhì)元做的是受迫振動(dòng)而非簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

當(dāng)波前剛抵達(dá)某個(gè)質(zhì)元時(shí)，它還處于平衡位置，此時(shí)質(zhì)元的能量是最大的。在一個(gè)波峰或波谷抵達(dá)某質(zhì)元的過(guò)程中，它的能量沿波的傳播方向流出 —— 因?yàn)樗枰邉?dòng)它的鄰居跟著一起動(dòng)起來(lái)；當(dāng)波峰或波谷到達(dá)質(zhì)元后，它又重新開(kāi)始吸收來(lái)自波源方向傳入的能量，再次回到平衡位置。如此反復(fù)，能量沿著波線方向不斷向前傳播。

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：大學(xué)物理學(xué) （ID：wuliboke），作者：薛德堡

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的以弹簧为基础理解机械波的能量的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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