第四章 操作臂逆運動學【（一）4.1-4.11】

（一）概述

1、為求出要求的關節角以放置相對于工作臺坐標系{S}的工具坐標系{T}，可將這個問題分為兩部分（1）進行坐標變換求出相對于基坐標{B}的腕部坐標系{W}。（2）應用逆運動學求關節角。

（二）可解性

1、解的存在性

（1）解是否存在完全取決于操作臂的工作空間。工作空間十操作臂末端執行器所能到達的范圍，若解存在，則被制定的目標點必須在工作空間內。

（2）工作空間分為靈巧工作空間和可達工作區間。前者指機器人的末端執行器能夠從各個方向到達的空間區域，即可以從任意方向到達靈巧工作空間的每一個點。后者至至少從一個方向上有一個方位可以達到的空間。顯然，靈巧工作空間十可達工作空間的子集。

2、多重解問題

（1）解的個數取決于操作臂的關節數量，也是連桿參數（

）

（2）通常，連桿的非零參數越多，達到某一特定目標的方式也越多。對于一個全部為旋轉關節的6自由度操作臂來說，可能多達16種解

（3）再給這個積木一個鏡頭！簡單易懂

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（1）與線性方程組不同，非線性方程組沒有通用的求解算法，最好對已知操作臂“解”的構成形式加以定義。

（2）操作臂的求解方法分為兩類：分閉解法和數值解法。

（3）數值解法的迭代性質，導致他要比封閉解法求解速度慢很多，所以一般不用。

（4）分閉形式，指基于解析形式的解法，或者意指對于不高于四次的多項式不用迭代便可完全求解。封閉解的求解方法分為兩類，代數法和幾何法。有時它們的區別不明顯，任何幾何方法中都引入了代數描述，這兩種方法的區別或許僅是求解過程的不同。

（5）所有包含轉動關節和移動關節的串聯型6自由度機構均是可解的。但這種解一般是數值解。對于6自由度機器人來說，只有在特殊情況下才有解析解。

（6）存在封閉解的充要條件是，相鄰的三個關節軸線相交于一點。

（三）當n＜6時操作臂子空間的描述

1、對于一個n自由度操作臂（n＜6），可達工作空間可看成是n自由度子空間的一部分。如圖4-1中，兩連桿機器人的子空間時一個平面，其工作空間時該平面的一個子集，即當

時，為一個半徑為 的圓。

2、對于少于6個自由度的操作臂來說，當確定一般目標點時，求解方法如下

（四）代數解法與幾何解法

用代數和幾何兩種方法對一個簡單的平面三連桿操作臂進行求解

注解：

1、代數解法：共5步驟

（1）建立方程式

（2）解

（3）將求得的

代入方程式

（4）變數變換

（5）求解

及 。

（6）三角函數方程式求解

2、幾何解

（1）將空間幾何切割成平面幾何

（五）通過化簡為多項式的代數解法

（六）三軸相交的PIEPER解法

略過，描述了如何證明，6個關節均為旋轉關節，且后面3個軸相交的操作臂。具有分閉解。

具體可看下面鏈接：有詳細推導公式

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（七）操作臂逆運動學實例

1、The Unimation PUMA 560機器人。共8種答案

2、Yasukawa Motoman L-3型機器人

Motoman L-3與PUMA機器人有三個不同特征，

（1）操作臂只有五個關節，因此它的末端執行器的位姿不能保證達到一般目標坐標系

（2）這種四桿機構以及鏈傳動方式使得一個驅動器需要同時驅動兩個甚至更多關節。

（3）驅動器的運動范圍不是常數，而是取決于其他啟動器的位置，因此判斷一組驅動器運動是否在某一范圍內是沒有意義的。

其余略過

（八）標準坐標系

在一般的機器人系統中，我們按照如下方法應用這些坐標系

1、由用戶確定系統中工作臺坐標系{S}的位置。它是相對于基坐標系{B}定義的。

2、用戶通過規定坐標系{T}給出機器人所用工具的描述。對于每種末端執行器，機器人抓持的每一種工具都應當有一個相應的工具坐標系{T}。注意，以不同的方式抓取相同的工具，工具坐標系{T}的定義是不同的。工具坐標系{T}是相對于腕部坐標系{W}定義的，即

。

3、用戶通過給定目標坐標系{G}相對于工作臺坐標系的描述來指定機器人運動的目標點。{T}和{S}的定義經常保持不變，這時，用戶僅需給出一系列{G}的規定。工具坐標系

一般是常量。

4、機器人系統需要計算一系列關節角度使關節一次運動，工具坐標系{T}從初始位置以連續方式運動，直至{T}={G}時運動結束

（九）操作臂求解

（十）重復精度和定位精度

1、示教點，指操作臂運動實際達到的點，然后關節位置傳感器讀取關節角并存儲。

2、當制造商在確定操作臂返回示教點的精度時，就是在確定操作臂的重復精度。

3、計算點，對于可以將目標位置描述為笛卡爾坐標的系統，它可以將操作臂移動到工作空間中一個從未示教過的點，這些點或許以前從未到達過，這些點稱為計算點。

4、到達某個計算點的精度稱為操作臂的定位精度。

5、操作臂的定位精度收到重復精度的影響，且受到運動學方程中參數精度的影響。因此一般重復精度非常好，但定位精度較差。標定技術能通過對操作臂運動學參數的估計提高定位精度

（十一）計算問題

---

例4.1

試描述第三章中圖3-6所示三連桿操作臂

的子空間。

解答：{W}為腕關節坐標系，{B}基坐標系

例4.2

試描述圖4-6所示兩自由度極坐標操作臂

的子空間。

解答：

例4.3

將超越方程

變換成含有半角正切的一次多項式，以求解 。

解答：利用萬能公式即可求解

由于原來的超越方程可能不存在實根，因此

是很復雜的。注意，若 ，自變量反正切值將無窮大，因此 ，所以應該預先檢查是否為0。

當（4-38）中二次項消除后，這個二次方程就簡化為線性方程。四次多項式便具有封閉形式的解，所以用4階（或低于4階）的代數方程求解操作臂是簡單的。稱為分閉解操作臂。

至P99

總結

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