第四章 操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)【（一）4.1-4.11】

（一）概述

1、為求出要求的關(guān)節(jié)角以放置相對于工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的工具坐標(biāo)系{T}，可將這個(gè)問題分為兩部分（1）進(jìn)行坐標(biāo)變換求出相對于基坐標(biāo){B}的腕部坐標(biāo)系{W}。（2）應(yīng)用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求關(guān)節(jié)角。

（二）可解性

1、解的存在性

（1）解是否存在完全取決于操作臂的工作空間。工作空間十操作臂末端執(zhí)行器所能到達(dá)的范圍，若解存在，則被制定的目標(biāo)點(diǎn)必須在工作空間內(nèi)。

（2）工作空間分為靈巧工作空間和可達(dá)工作區(qū)間。前者指機(jī)器人的末端執(zhí)行器能夠從各個(gè)方向到達(dá)的空間區(qū)域，即可以從任意方向到達(dá)靈巧工作空間的每一個(gè)點(diǎn)。后者至至少從一個(gè)方向上有一個(gè)方位可以達(dá)到的空間。顯然，靈巧工作空間十可達(dá)工作空間的子集。

2、多重解問題

（1）解的個(gè)數(shù)取決于操作臂的關(guān)節(jié)數(shù)量，也是連桿參數(shù)（

）

（2）通常，連桿的非零參數(shù)越多，達(dá)到某一特定目標(biāo)的方式也越多。對于一個(gè)全部為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的6自由度操作臂來說，可能多達(dá)16種解

（3）再給這個(gè)積木一個(gè)鏡頭！簡單易懂

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（1）與線性方程組不同，非線性方程組沒有通用的求解算法，最好對已知操作臂“解”的構(gòu)成形式加以定義。

（2）操作臂的求解方法分為兩類：分閉解法和數(shù)值解法。

（3）數(shù)值解法的迭代性質(zhì)，導(dǎo)致他要比封閉解法求解速度慢很多，所以一般不用。

（4）分閉形式，指基于解析形式的解法，或者意指對于不高于四次的多項(xiàng)式不用迭代便可完全求解。封閉解的求解方法分為兩類，代數(shù)法和幾何法。有時(shí)它們的區(qū)別不明顯，任何幾何方法中都引入了代數(shù)描述，這兩種方法的區(qū)別或許僅是求解過程的不同。

（5）所有包含轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)的串聯(lián)型6自由度機(jī)構(gòu)均是可解的。但這種解一般是數(shù)值解。對于6自由度機(jī)器人來說，只有在特殊情況下才有解析解。

（6）存在封閉解的充要條件是，相鄰的三個(gè)關(guān)節(jié)軸線相交于一點(diǎn)。

（三）當(dāng)n＜6時(shí)操作臂子空間的描述

1、對于一個(gè)n自由度操作臂（n＜6），可達(dá)工作空間可看成是n自由度子空間的一部分。如圖4-1中，兩連桿機(jī)器人的子空間時(shí)一個(gè)平面，其工作空間時(shí)該平面的一個(gè)子集，即當(dāng)

時(shí)，為一個(gè)半徑為 的圓。

2、對于少于6個(gè)自由度的操作臂來說，當(dāng)確定一般目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，求解方法如下

（四）代數(shù)解法與幾何解法

用代數(shù)和幾何兩種方法對一個(gè)簡單的平面三連桿操作臂進(jìn)行求解

注解：

1、代數(shù)解法：共5步驟

（1）建立方程式

（2）解

（3）將求得的

代入方程式

（4）變數(shù)變換

（5）求解

及 。

（6）三角函數(shù)方程式求解

2、幾何解

（1）將空間幾何切割成平面幾何

（五）通過化簡為多項(xiàng)式的代數(shù)解法

（六）三軸相交的PIEPER解法

略過，描述了如何證明，6個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，且后面3個(gè)軸相交的操作臂。具有分閉解。

具體可看下面鏈接：有詳細(xì)推導(dǎo)公式

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（七）操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)實(shí)例

1、The Unimation PUMA 560機(jī)器人。共8種答案

2、Yasukawa Motoman L-3型機(jī)器人

Motoman L-3與PUMA機(jī)器人有三個(gè)不同特征，

（1）操作臂只有五個(gè)關(guān)節(jié)，因此它的末端執(zhí)行器的位姿不能保證達(dá)到一般目標(biāo)坐標(biāo)系

（2）這種四桿機(jī)構(gòu)以及鏈傳動(dòng)方式使得一個(gè)驅(qū)動(dòng)器需要同時(shí)驅(qū)動(dòng)兩個(gè)甚至更多關(guān)節(jié)。

（3）驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)范圍不是常數(shù)，而是取決于其他啟動(dòng)器的位置，因此判斷一組驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)是否在某一范圍內(nèi)是沒有意義的。

其余略過

（八）標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系

在一般的機(jī)器人系統(tǒng)中，我們按照如下方法應(yīng)用這些坐標(biāo)系

1、由用戶確定系統(tǒng)中工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的位置。它是相對于基坐標(biāo)系{B}定義的。

2、用戶通過規(guī)定坐標(biāo)系{T}給出機(jī)器人所用工具的描述。對于每種末端執(zhí)行器，機(jī)器人抓持的每一種工具都應(yīng)當(dāng)有一個(gè)相應(yīng)的工具坐標(biāo)系{T}。注意，以不同的方式抓取相同的工具，工具坐標(biāo)系{T}的定義是不同的。工具坐標(biāo)系{T}是相對于腕部坐標(biāo)系{W}定義的，即

。

3、用戶通過給定目標(biāo)坐標(biāo)系{G}相對于工作臺(tái)坐標(biāo)系的描述來指定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)點(diǎn)。{T}和{S}的定義經(jīng)常保持不變，這時(shí)，用戶僅需給出一系列{G}的規(guī)定。工具坐標(biāo)系

一般是常量。

4、機(jī)器人系統(tǒng)需要計(jì)算一系列關(guān)節(jié)角度使關(guān)節(jié)一次運(yùn)動(dòng)，工具坐標(biāo)系{T}從初始位置以連續(xù)方式運(yùn)動(dòng)，直至{T}={G}時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束

（九）操作臂求解

（十）重復(fù)精度和定位精度

1、示教點(diǎn)，指操作臂運(yùn)動(dòng)實(shí)際達(dá)到的點(diǎn)，然后關(guān)節(jié)位置傳感器讀取關(guān)節(jié)角并存儲(chǔ)。

2、當(dāng)制造商在確定操作臂返回示教點(diǎn)的精度時(shí)，就是在確定操作臂的重復(fù)精度。

3、計(jì)算點(diǎn)，對于可以將目標(biāo)位置描述為笛卡爾坐標(biāo)的系統(tǒng)，它可以將操作臂移動(dòng)到工作空間中一個(gè)從未示教過的點(diǎn)，這些點(diǎn)或許以前從未到達(dá)過，這些點(diǎn)稱為計(jì)算點(diǎn)。

4、到達(dá)某個(gè)計(jì)算點(diǎn)的精度稱為操作臂的定位精度。

5、操作臂的定位精度收到重復(fù)精度的影響，且受到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中參數(shù)精度的影響。因此一般重復(fù)精度非常好，但定位精度較差。標(biāo)定技術(shù)能通過對操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的估計(jì)提高定位精度

（十一）計(jì)算問題

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例4.1

試描述第三章中圖3-6所示三連桿操作臂

的子空間。

解答：{W}為腕關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，{B}基坐標(biāo)系

例4.2

試描述圖4-6所示兩自由度極坐標(biāo)操作臂

的子空間。

解答：

例4.3

將超越方程

變換成含有半角正切的一次多項(xiàng)式，以求解 。

解答：利用萬能公式即可求解

由于原來的超越方程可能不存在實(shí)根，因此

是很復(fù)雜的。注意，若 ，自變量反正切值將無窮大，因此 ，所以應(yīng)該預(yù)先檢查是否為0。

當(dāng)（4-38）中二次項(xiàng)消除后，這個(gè)二次方程就簡化為線性方程。四次多項(xiàng)式便具有封閉形式的解，所以用4階（或低于4階）的代數(shù)方程求解操作臂是簡單的。稱為分閉解操作臂。

至P99

總結(jié)

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