斐波那契數列之美

斐波那契是一位數學家，生于公元1170年，籍貫大概是比薩，卒于1240年后。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。斐波那契數列因他解決兔子繁殖的應用題而引入，故又稱為“兔子數列”。除此之外，他對歐洲數學的另一大貢獻就是引進阿拉伯數字，從而取代了復雜的羅馬計數法。

有這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前兩個元素為1，其他元素均為前兩個元素和。在數學上以如下遞歸的方法定義：

這就是斐波那契數列的數學定義。

奇妙的屬性

隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887……

從第二項開始，每個奇數項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前后兩項之積少1。(注：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而并不是指數列的數字本身的奇偶，比如第四項3是奇數，但它是偶數項，第五項5是奇數，它是奇數項，如果認為數字3和5都是奇數項，那就誤解題意，怎么都說不通)

如果你看到有這樣一個題目：

某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。

斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。

斐波那契數列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……)的其他性質：

f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

利用這一點，可以用程序編出時間復雜度僅為O(log n)的程序。怎樣實現呢？偽代碼描述一下?

[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2

算法之矩陣計算斐波那契數列

從第三項開始，每一項都是前兩項之和。 F(n)=F(n?1)+F(n?2), n?3 把斐波那契數列中 相鄰的兩項F(n)和F(n?1)寫成一個2×1的矩陣。

求F(n)等于求二階矩陣的n - 1次方，結果取矩陣第一行第一列的元素。

問題轉換為二階矩陣的n次冪。而計算二階矩陣的N次冪運算，由于二階矩陣乘法滿足結合律，這樣，可以快速計算二階矩陣的n次冪運算。

假設A為一個二階矩陣，則A的冪運算滿足下面的條件：

A**6=A**3?A**3

A**7=A**3?A**3?A**1=A**4*A**2*A**1

可以類似地把A看做是二進制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是說可以把矩陣的冪轉換成二進制來表示。從而可以將n次冪拆解成長度為logn的二進制數來表示：7=111(二進制)。這就是快速求二階矩陣的核心方法。

代碼實現：

完整代碼：

斐波那契數列的應用

總結

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