斐波那契數(shù)列之美

斐波那契是一位數(shù)學(xué)家，生于公元1170年，籍貫大概是比薩，卒于1240年后。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。斐波那契數(shù)列因他解決兔子繁殖的應(yīng)用題而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。除此之外，他對歐洲數(shù)學(xué)的另一大貢獻(xiàn)就是引進(jìn)阿拉伯?dāng)?shù)字，從而取代了復(fù)雜的羅馬計(jì)數(shù)法。

有這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……前兩個元素為1，其他元素均為前兩個元素和。在數(shù)學(xué)上以如下遞歸的方法定義：

這就是斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)定義。

奇妙的屬性

隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887……

從第二項(xiàng)開始，每個奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1。(注：奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是指項(xiàng)數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如第四項(xiàng)3是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項(xiàng)，第五項(xiàng)5是奇數(shù)，它是奇數(shù)項(xiàng)，如果認(rèn)為數(shù)字3和5都是奇數(shù)項(xiàng)，那就誤解題意，怎么都說不通)

如果你看到有這樣一個題目：

某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過后面那個圖中有一條細(xì)長的狹縫，一般人不容易注意到。

斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。

斐波那契數(shù)列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……)的其他性質(zhì)：

f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)

f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1

f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)

利用這一點(diǎn)，可以用程序編出時間復(fù)雜度僅為O(log n)的程序。怎樣實(shí)現(xiàn)呢？偽代碼描述一下?

[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)

f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2

算法之矩陣計(jì)算斐波那契數(shù)列

從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。 F(n)=F(n?1)+F(n?2), n?3 把斐波那契數(shù)列中 相鄰的兩項(xiàng)F(n)和F(n?1)寫成一個2×1的矩陣。

求F(n)等于求二階矩陣的n - 1次方，結(jié)果取矩陣第一行第一列的元素。

問題轉(zhuǎn)換為二階矩陣的n次冪。而計(jì)算二階矩陣的N次冪運(yùn)算，由于二階矩陣乘法滿足結(jié)合律，這樣，可以快速計(jì)算二階矩陣的n次冪運(yùn)算。

假設(shè)A為一個二階矩陣，則A的冪運(yùn)算滿足下面的條件：

A**6=A**3?A**3

A**7=A**3?A**3?A**1=A**4*A**2*A**1

可以類似地把A看做是二進(jìn)制中的2，2**7=2**4*2**2*2**1也就是說可以把矩陣的冪轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制來表示。從而可以將n次冪拆解成長度為logn的二進(jìn)制數(shù)來表示：7=111(二進(jìn)制)。這就是快速求二階矩陣的核心方法。

代碼實(shí)現(xiàn)：

完整代碼：

斐波那契數(shù)列的應(yīng)用

總結(jié)

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