從今天開始，我們開始介紹圖的相關算法 什么是“圖”

1、背景

作為圖的開始，我們先來看一個經典的問題，它被認為是圖論的起源。

這個問題是基于一個現實生活中的事例：河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？

歐拉在1735年提出，并沒有方法能圓滿解決這個問題，他更在第二年發表在論文《柯尼斯堡的七橋》中，證明符合條件的走法并不存在

歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發后最后再回到這點，則這一點的線數必須是偶數，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數條線的點稱為奇頂點。由于柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點，它無法實現符合題意的遍歷。

之后，不少數學家都嘗試去解析這類事例。而這些解析，最后發展成為了數學中的圖論233。

2、圖的概念

圖的定義：圖是由一組頂點和一組能夠將兩個頂點相連的邊組成的

圖是一種非線性表數據結構，圖中的元素我們叫做頂點，圖中建立的連接關系我們叫做邊。，圖主要分為四種：無向圖、有向圖、加權圖、加權有向圖。

我們把有邊有方向的圖叫做“有向圖”，把邊沒有方向的圖叫做“無向圖”，把邊帶有權重的圖叫做“加權圖”，這些概念其實都比較容易理解，你可以參考下面的幾幅圖對比一下。我們可以分別類比生活中的：知乎關注（有向）、微信交友（無向）和QQ好友親密度（帶權值）。

在圖的表示中，我們定義度的概念。對于無向圖而言，一個頂點的度是指跟該頂點相連接的邊的條數；對于有向圖而言，我們分別定義入度和出度，頂點的入度表示有多少條邊指向這個節點，頂點的出度表示有多少條邊以這個節點為起點指向其他節點。

3、圖的存儲方法

圖的存儲方法主要有兩種：鄰接表（Adjacency List）和鄰接矩陣（Adjacency Matrix）。我們首先來介紹一下這兩種存儲方法。

1.鄰接矩陣

鄰接矩陣，顧名思義，就是利用矩陣去描述圖，它的底層依賴于一個二維數組。對于無向圖而言，如果頂點i與頂點j之間有邊，那么我們就把A[i][j]和A[j][i]標記為1，它們之間沒有邊就標記為0；對于有向圖而言，如果頂點 i 到頂點 j 之間，有一條箭頭從頂點 i 指向頂點 j 的邊，那我們就將 A[i][j]標記為 1。同理，如果有一條箭頭從頂點j 指向頂點 i 的邊，我們就將 A[j][i]標記為 1。對于帶權圖，數組中就存儲相應的權重。

我們使用鄰接矩陣來表示圖，雖然的確很直觀明了，但是卻比較浪費空間。

其一，對于無向圖來說，A[i][j]永遠等于A[j][i]，我們只需要使用一半矩陣就可以成功地表示，那另一半空間就被浪費掉了；

其二、如果我們存儲的是稀疏圖，也就是頂點很多，但每個頂點的邊并不很多，此時鄰接矩陣的存儲方法就更加浪費空間了。好比微信有好幾億的用戶，對應到圖上就是好幾億的頂點。但是每個用戶的好友并不會很多，一般也就幾百個而已。如果我們用鄰接矩陣來存儲，那絕大部分的存儲空間都被浪費了。

總結一下，當圖為稀疏圖、頂點較多，即圖結構比較大時，更適宜選擇鄰接表作為存儲結構。當圖為稠密圖、頂點較少時，使用鄰接矩陣作為存儲結構較為合適。

2.鄰接表

我們使用一個以頂點為索引的列表數組，其中數組中的每個元素都指向一個單獨的鏈表，該鏈表存儲了與數組中頂點相鄰的所有頂點。有點繞口，不過我為你準備了一張圖，我相信結合圖片你肯定可以更好地理解。

相比于鄰接矩陣，鄰接表比較節省存儲空間，但是使用起來卻比較耗費時間。不過，它的形式更為自由和靈活，比如，在鏈表過長的情況下，我們可以把鏈表用平衡二叉查找樹（紅黑樹）替代，這樣的話就比較高效了。

3.代碼實現

public class Graph{//無向圖private int v;//頂點的個數private LinkedList<Integer> adj[];//鄰接表public Graph(int v){this.v=v;adj=new LinkedList[v];for(int i=0;i<v;++i){adj[i]=new LinkedList<>();}}public void addEdge(int s,int t){//無向圖一條邊存兩次adj[s].add(t);adj[t].add(s);} }

好了，關于圖的內容就到這里了，我希望通過這篇文章你對于圖有了一個初步的認識！下一次，我們會介紹深度優先搜索和廣度優先搜索，小超與你不見不散！

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的将图的广度优先遍历在邻接矩阵和邻接表存储结构上分别实现_图解：什么是“图”？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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