導數與積分總結

前言

其實這些東西大多數都可以在高中數學書中找到......

導函數

導數是什么

導數是用于解決瞬時變化率的。
例如，給定一個物理直線運動的(s-t)圖，即函數(f(t) = s)，求某一時刻(t)的瞬時速度。
直接求是不可能的(這輩子都不可能的)，所以考慮用短時間的平均速度來代替瞬時速度。
即 (v = Lim_{Delta t o 0} frac{f(t+Delta t) - f(t)}{Delta t})。
真正把這個函數在坐標軸上畫出來可以發現，這個值趨近(t)點的斜率。
這個(v)即(f(t))在(t)點的導數

導數的相關概念

導數(f'(x))即函數(f(x))在(x)點的變化速率。
導數(f'(x))在圖形上趨近于函數(f(x))在(x)點的斜率。
多次取導的結果(f^{[n]}(x))稱為(f(x))的(n)階導數。
令(d = Lim_{Delta t o 0} Delta t)，那么(f'(x) = frac{df(x)}{dx})。
移項后就變成了常用的積分求導形式：(df(x) = f'(x) dx)。
我們稱(f(x))為(f'(x))的原函數，(f'(x))為(f(x))在(x)點的導數。

常用導數公式

(C' = 0)
((x^a)' = ax^{a-1})
$sin'(x) = cos(x) $
(cos'(x) = -sin(x))
((a^x)' = a^x ln(a))
((e^x)' = e^x)
(ln'(x) = frac{1}{x})
(log_y'(x) = frac{1}{x ln(y)})

導數的運算法則

([cf(x)]' = cf'(x))
([f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x))
([f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x))
([f(x)*g(x) ]' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x))
([frac{f(x)}{g(x)}]' = frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)})
令(u = g(x) , [f(g(x))]' = f'(u)*g'(x))

牛頓迭代法

這是多項式相關內容的推導根基。
求解一個函數(f(x) = 0) 的解(x)，咋解？
畫圖可以發現，先隨便選擇一個解(x_0)，
我們將每次選擇點的斜率直線畫出，該直線與(x)軸的交點(x)一定比當前點更接近答案。
斜率直線是啥？導數！
所以(slope = f'(x_0) = frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x})。
移項后就得到：

[x = x_0 - frac{f(x_0)}{f'(x_0)}
]

不斷迭代下去我們就可以找到一個比較精準的解了。

微積分

還是上面那個問題(微分)

一輛車的速度(v)隨時間(t)滿足(v(t) = F(t) = t^3)，其中(F(t))是一個函數。
如何求(1)秒之內，這輛車的移動距離？
顯然對應到數軸上就是(F(x))與(x)軸和(y)軸圍成圖形的面積。
類似人教版高中物理必修一第二章的勻變速運動推導方法，我們來微分。
把一秒分為([0,frac{1}{n}])、([frac{1}{n},frac{2}{n}])、....、([frac{n-1}{n},1])這樣的(n)段。
我們近似的設第(i)段的速度為這一段的起始點時的速度，即(Delta s_i = F(frac{i-1}{n}) * frac{1}{n})
那么(Delta s_i = frac{(i-1)^3}{n^4})。
然后在把(s_i)累加起來，(S = sum_{i=1}^n s_i = frac{1}{n^4} sum_{i=1}^n (i-1)^3)
有公式(sum_{i=0}^{n-1} i^3 = frac{1}{4} n^2(n+1)^2)，所以(S = frac{(n+1)^2}{4n^2} = frac{1}{4} (1 + frac{1}{n})^2)。
顯然，(Lim_{n o 0})，所以(S = frac{1}{4}(1 + 0) = frac{1}{4})，求出了答案。
上面這個過程就是微分。

還有嗎？(積分)

現在給出這輛車的(s-t)圖像(函數(F(x)))，這個圖像沒有任何規律可言。
現在希望知道，在(1)秒后，這輛車的移動距離是多少。
報告！我秒了這個問題，(S = F(1) - F(0))！
顯然這個結果是正確的，因為這是(s-t)圖像嗎...... 我們來試著用微分思想解決。
還是把時間分為(n)段：([0,frac{1}{n}])、([frac{1}{n},frac{2}{n}])、....、([frac{n-1}{n},1])。
那么答案等于(S = sum_{i=1}^n Delta s_i = sum_{i=1}^n v(frac{i-1}{n})frac{1}{n})。
那么(v(frac{i-1}{n}))等于蛤？ 仔細回顧了一發導數知識，(v(frac{i-1}{n}) = F'(frac{i-1}{n}))。
所以說(S = frac{1}{n} sum_{i=1}^n F'(frac{i-1}{n}))。當(Lim_{n o 0})時，(S = sum_{iin[0,1]} F'(i))。
那個(sum)太丑了，我們把它記為(S = int_{0}^1 F'(x)dx = F(1) - F(0))。這個過程就是積分。

微積分的相關概念

微分運算類似于求導，即將原函數的每部分進行求導。
積分運算為求導的逆運算，(f(x))的積分結果為其原函數(F(x))。
這個運算叫做不定積分，記為(F(x) = int f(x) dx)。
在積分中，記(f(r) - f(l) = |^r_l f(x))
定積分則是求解一個連續區間的(f(x))和，記為(F(x) = int_{l}^r f(x)dx)。
上面的積分的例子中，得到了積分中最重要的牛頓-萊布尼茲公式：

[若F'(x) = f(x) , 則int_l^r f(x)dx = |^r_l F(x) = F(r) - F(l)
]

所以說如果要求解(f(x))的定積分，
那么只需要找到它的原函數(F(x))即可，而找原函數又可以用不定積分完成。

常用積分公式

(int c dx= cx + C)
(int x^a dx = frac{x^{a+1}}{a+1} + C)
(int frac{1}{x} dx = ln(|x|) + C)
(int e^x dx = e^x + C)
(int a^x dx = frac{a^x}{ln(a)} + C)
(int cos(x) dx = sin(x) + C)
(int sin(x) dx = -cos(x) + C)

積分運算法則

(int f(cx)dx = int frac{1}{c}f(cx)dcx)
(int cf(x) = cint f(x))
(int [f(x)+g(x)] = int f(x) + int g(x))
(int [f(x)-g(x)] = int f(x) - int g(x))

復合函數的積分：
復合函數由于沒有基本公式，所以無法進行直接積分。
一般來說，我們需要將復合函數化成基本函數，過程中注意積分對象(dx)的變化。
舉個例子：求(int cos^2(mx)dx)
(int cos^2(mx)dx = int cos^2(x) frac{1}{m}dmx = frac{1}{m}int cos^2(mx)dmx)
我們先通過提出系數，使積分對象與積分函數變量一致。
(frac{1}{m}int cos^2(mx)dmx = frac{1}{m} int frac{cos(2mx) + 1}{2} dmx = frac{1}{2m} int cos(2mx) dmx + frac{1}{2} x)
現在積分那個部分是有基本公式的了,所以
(frac{1}{2m} int cos(2mx) dmx = frac{1}{4m} int cos(2mx) d2mx = frac{1}{4m} sin(2mx))。
所以綜上，原式(= frac{1}{4m} sin(2mx) + frac{1}{2} x)，然后就化完啦！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的导数与积分总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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