（學習的參考資料主要是《算法導論》。）

　　首先是紅黑樹的性質。一棵二叉查找樹滿足以下的紅黑性質，則為一棵紅黑樹。

　　1)每個結點或是紅的，或是黑的。

　　2)根結點是黑的。

　　3)每個葉結點(NIL)是黑的。

　　4)紅結點的兩個孩子都是黑的。

　　5)對任意結點，從它到其子孫結點所有路徑上包含相同數目的黑結點。

　　初學時并不在意，但是仔細研究相關算法就會知道，算法都是圍繞保持這些性質來進行的。性質5）保證了紅黑樹使用時的高效。定理證明了n個內結點的紅黑樹高度至多為2lg(n+1)。

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　　不同于一般二叉查找樹，紅黑樹一般采用一個哨兵結點代表NIL，這對算法的使用提供了很多方便，具體編寫時可以體會的到。哨兵設置為黑色，它是根的父結點，也是所有的葉子結點。而它的其他域可以設置為任意值。我用關鍵字把它和普通的結點進行區分。

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　　旋轉是紅黑樹的特有操作。以前搞不清左旋和右旋究竟是如何進行的，現在比較明白，可以這樣概括：以x結點左旋即為，使x從一棵子樹的根變成這個子樹的左孩子；對稱的，同理。旋轉是紅黑樹插入和刪除時為了維持紅黑性質而可能進行的操作。

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　　插入的原理：

　　除了空指針的處理，插入的過程和二叉查找樹相同，但是插入后需要進行獨有的調整算法以保證紅黑性質。下面的描述是我的個人概括，看上去比較混亂，和算法以及實例相對照著可能容易理解一些。

　　新插入的點z直接染成紅色，再根據其父結點是否為紅(與性質4沖突)和插入的結點是否為根（與性質2沖突）進行調整。后者直接把根染黑即可。

　　對于前者，找到z的叔叔y（找叔叔y雖然需要分情況處理，但比較簡單，不詳寫），根據y是紅還是黑進一步分清況。z的父親為左孩子時，前者只需要把z的父親和叔叔同時變黑、z的父結點的父結點變紅、令z指向z的父結點的父結點迭代處理即可；后者進一步分z是左孩子還是右孩子處理。z是左孩子時直接以z的父結點進行旋轉讓z的父親左旋并成為新z即成為后一種情況。在后一種情況中，將z的父親染黑，祖父染紅，以z的祖父右旋就能獲得。

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　　刪除的原理:

　　算法導論上的刪除算法把兩種情況同時進行處理，確實很有技巧。紅黑樹的刪除除了最后需要根據對于刪除結點的顏色來判斷是否需要進行調整外，和普通的二叉查找樹沒有區別，這里稍微做一下分析。

1 RB-DELETE(T, z) 　　　　　　　　　　　　　　　　 // 　　情況1　　　　　　　　　　 ||　　情況22 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]　　　　//　　z最多一個孩子時　　　　　　 ||　　z有兩個孩子時3 then y ← z　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//　　 令y=z　　　　　　　　　　　||　 令y是z后繼(此時y必然不是z的右孩子)4 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)　　　　　　　　　　 //===============================================================================5 if left[y] ≠ nil[T]　　　　　　　　　　　　　　　 //　　令x為y的孩子或哨兵　　　　　 ||　　 令x是y的右孩子(x必然不為左孩子，否則y不可能是z的后繼)6 then x ← left[y]　　　　　　　　　　　　　　　 // 　　　　 || 將來x會代替y的位置7 else x ← right[y]　　　　　　　　　　　　　　　//================================================================================8 p[x] ← p[y]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　// 9 if p[y] = nil[T]　　　　　　　　　　　　　　　　　// 10 then root[T] ← x　　　　　　　　　　　　　　 // x與x的新父親之間建立關系 11 else if y = left[p[y]]　　　　　　　　　　　// 12 then left[p[y]] ← x　　　　　　　　 // 13 else right[p[y]] ← x　　　　　　　　 //================================================================================= 14 if y !≠ z　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　// 　　　　　　　　　　　　　　　 || 15 then key[z] ← key[y] // 刪完后整體上移 　　　　||　　　　替代，用于替代的原結點刪除 16 copy y's satellite data into z // || 17 if color[y] = BLACK // || 18 then RB-DELETE-FIXUP(T, x) // || 19 return y

?　　刪除后，如果刪除的結點是黑色，可能會造成性質2、4、5的違反。調整算法思想是使得代替y的x多染一層黑色而成為紅黑或二重黑色結點。這個處理只是用指針x標示，并不用改變結點color域的內容。調整算法按8種情況，其中兩兩對稱，只描述4種。

　　用w表示x的兄弟。

　　情況1為w紅。此時調整w為黑，p[x]為紅，以p[x]左旋，w指向x的新兄弟，此時則成為情況2或3或4。

　　情況2為w黑，且w的兩個孩子均黑。此時把w染紅，令p[x]成為新的x。這相當于把x剝離了一層黑色，使這層黑色上移。

　　情況3為w黑，w的左孩子為紅，右孩子為黑。這時交換w和左孩子顏色，并對w右旋，此時成為情況4。

　　情況4為w黑，w有孩子為紅。這時使w成為p[x]的顏色，p[x]置為黑色，w的右孩子置為黑，對p[x]左旋。令x為根。這時相當于把原先x上的一重黑色傳給了其父親并于它一起下移，而w代替了其父親原先的顏色和位置。這是不存在紅黑結點或二重黑結點。

　　每次處理都判斷x是否為根且x是否為黑。x不為根且為黑時才代表有紅黑結點或二重黑結點，需要進行新一輪循環。循環結束后把根染黑就結束了。

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　　最后附上一個我自己用C寫的紅黑樹操作。插入操作驗證無誤，刪除操作驗證次數有限，可能有bug存在。

#include <stdlib.h> #include <stdio.h>#define T_nil -1 //T_nil is a key of nil[T] in the book. #define RED 1 #define BLACK 0//T_nil is BLACK//T_nil's p is itself. need to set.struct rb_tree {int color;int key; //normally a positive number.struct rb_tree *left;struct rb_tree *right;struct rb_tree *p; };int rb_walk(struct rb_tree *node) {if (node->key != T_nil) {rb_walk(node->left);printf("%d, color is %s\n",node->key,(node->color?"RED":"BLACK"));rb_walk(node->right);}return 1; }struct rb_tree* rb_search(struct rb_tree *node, int k) {if ((node->key == T_nil) || (node->key == k))return node;if ( k < node->key )return rb_search(node->left,k);elsereturn rb_search(node->right,k); }struct rb_tree* tree_minimum(struct rb_tree *node) {if (node->key == T_nil)return node;while (node->left->key != T_nil)node = node->left;return node; }struct rb_tree* tree_maximum(struct rb_tree *node) {if (node->key == T_nil)return node;while (node->right->key != T_nil) node = node->right;return node; }struct rb_tree* tree_successor(struct rb_tree *node) {struct rb_tree *y;if (node->right->key != T_nil)return tree_minimum(node->right);y = node->p;while ((y->key != T_nil) && (node == y->right)) {node = y;y = y->p;}return y; } //3 function of below is copy from tree.struct rb_tree * left_rotate(struct rb_tree *rb, struct rb_tree *x) {struct rb_tree *y;//if (x->right->key == T_nil) {// printf("have no right child,rotation cancel.\n");// return rb;//}y = x->right;x->right = y->left;if (y->left->key != T_nil)y->left->p = x;y->p = x->p;if (x->p->key == T_nil)rb = y;else if (x == x->p->left)x->p->left = y;elsex->p->right = y;y->left = x;x->p = y;return rb; }struct rb_tree *right_rotate(struct rb_tree *rb, struct rb_tree *x) {struct rb_tree *y;//if (x->left->key == T_nil ) {// printf("have no left child,rotation cancel.\n");// return rb;//}y = x->left;x->left = y->right;if (y->right->key != T_nil )y->right->p = x;y->p = x->p;if (x->p->key == T_nil)rb = y;else if (x == x->p->left)x->p->left = y;elsex->p->right = y;y->right = x;x->p = y;return rb; }struct rb_tree* rb_insert_fixup(struct rb_tree *rb, struct rb_tree *z) {struct rb_tree *y;while (z->p->color == RED) {if (z->p == z->p->p->left) {y = z->p->p->right;if (y->color == RED) {z->p->color = BLACK;y->color = BLACK;z->p->p->color = RED;z = z->p->p;}else {if (z == z->p->right) {z= z->p;rb = left_rotate(rb,z);}z->p->color = BLACK;z->p->p->color = RED;rb = right_rotate(rb,z->p->p);}}else {//same as right and left exchangedy = z->p->p->left;if (y->color == RED) {z->p->color = BLACK;y->color = BLACK;z->p->p->color = RED;z = z->p->p;}else { if (z == z->p->left) {z= z->p;rb = right_rotate(rb,z);}z->p->color = BLACK;z->p->p->color = RED;rb = left_rotate(rb,z->p->p);} }}rb->color = BLACK;return rb; }struct rb_tree* rb_insert(struct rb_tree *rb, int k) {struct rb_tree *y = rb->p;struct rb_tree *x = rb;struct rb_tree *z;z= (struct rb_tree *)malloc(sizeof(struct rb_tree));z->key = k;while (x->key != T_nil) {y = x;if (k< x->key)x = x->left;elsex = x->right;}z->p = y;if (y->key == T_nil)rb = z;else if (z->key <y->key)y->left = z;elsey->right =z;z->left = rb->p;z->right = rb->p;z->color = RED;return rb_insert_fixup(rb,z); }struct rb_tree* rb_delete_fixup(struct rb_tree *rb, struct rb_tree *x) {struct rb_tree *w;while ((x !=rb)&&(x->color == BLACK)) {if (x == x->p->left) {w = x->p->right;if (w->color == RED) {w->color = BLACK;x->p->color = RED;left_rotate(rb,x->p);w = x->p->right;}if ((w->left->color == BLACK)&&(w->right->color == BLACK)) {w->color = RED;x = x->p;}else if (w->right->color == BLACK) {w->left->color = BLACK;w->color = RED;right_rotate(rb,w);w = x->p->right;}w->color = x->p->color;x->p->color = BLACK;w->right->color = BLACK;left_rotate(rb,x->p);x = rb;}else { //same as right and left exchangedw = x->p->left;if (w->color == RED) {w->color = BLACK;x->p->color = RED;right_rotate(rb,x->p);w = x->p->right;}if ((w->right->color == BLACK)&&(w->left->color == BLACK)) {w->color = RED;x = x->p;}else if (w->left->color == BLACK) {w->right->color = BLACK;w->color = RED;left_rotate(rb,w);w = x->p->left;}w->color = x->p->color;x->p->color = BLACK;w->left->color = BLACK;right_rotate(rb,x->p);x = rb;}}x->color = BLACK; }struct rb_tree* rb_delete(struct rb_tree *rb, struct rb_tree *z) {struct rb_tree *x,*y;if ((z->left->key == T_nil) || (z->right->key == T_nil))y = z;else y = tree_successor(z);if (y->left->key != T_nil)x = y->left;elsex = y->right;x->p = y->p;if (y->p->key == T_nil)rb = x;else if (y==x->p->left)y->p->left = x;elsey->p->right = x;if (y!=x) //copy y's data to zz->key = y->key;if (y->color == BLACK)rb_delete_fixup(rb,x);free(y);return rb; }int main () {struct rb_tree *p,*root;struct rb_tree tree_nil = {BLACK,T_nil,&tree_nil,&tree_nil,&tree_nil};root = &tree_nil;root = rb_insert(root,15);root = rb_insert(root,5);root = rb_insert(root,16);root = rb_insert(root,3);root = rb_insert(root,12);root = rb_insert(root,20);root = rb_insert(root,10);root = rb_insert(root,13);root = rb_insert(root,6);root = rb_insert(root,7);root = rb_insert(root,18);root = rb_insert(root,23);rb_walk(root);p = rb_search(root,18);root = rb_delete(root,p);rb_walk(root);return 1; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的红黑树的学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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