這是我很久以前寫的一份文檔,現在貼到這里.

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我們討論問題的框架是$\mathbb{\mathbb{R}}^n$.

定義:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb{R}^{n},\mbox{集合}\{q=(q_1,\cdots,q_n)||q_1-p_1|<\varepsilon_1,\cdots,|q_n-p_n|<\varepsilon_n\}$稱為點$p$的$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$-附近.簡記為$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)$.

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定義:對于$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,

1.$p$稱為$S$的內點,如果存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S$.

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2.$p$稱為$S$的邊界點，如果對于任意正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\not\subseteq S$，且$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S\neq\emptyset$.

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3.$p$稱為$S$的外點，如果存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S=\emptyset$.

顯然$p$與$S$的關系有且僅有上述3種關系之一.

定義:$p$是$S$的聚點，當且僅當$p$是$S$的極限點.如果屬于點集S的點不是聚點，則稱它為孤立點.

可以看到，一個點集$S$的邊界點$q$,$q$可以屬于$S$，這時，$q$可能是聚點也可能是孤立點,而且只有這兩種可能.$q$可以不屬于$S$,這時$q$只可能是聚點.

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定義:開集的下面兩種定義是等價的.1.一個點集，當所有屬于它的點都是內點時,該點集叫開集.

2.一個點集，它的所有邊界點都不屬于該點集時，該點集叫開集.

定義等價性是顯然的.

定義:$S$是閉集當且僅當它包含了所有邊界點.

顯然一個點集是閉集的充要條件是該點集包含了該點集的所有聚點.平面上的點集并非只有開集和閉集兩種，實際上，開集和閉集只是兩種極端情況：開集是所有邊界點都不包括，閉集是所有邊界點都包括.而顯然平面上的某些點集只包含它的一部分邊界點.

幾個重要結論

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定理1:$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,若$S$是開集，則$\mathbb{R}^{n}-S$是閉集.若$S$是閉集，則$\mathbb{R}^{n}-S$是開集.

證明:若$p$是$S$的邊界點，則易得$p$也是$\mathbb{R}^n-S$的邊界點.若$q$是$\mathbb{R}^n-S$的邊界點，則$q$也是$S$的邊界點.可見，邊界若完全被其中一方擁有，則另一方則完全不擁有，定理得證.當然,也可能存在這樣的情況,即 $S$根本沒有邊界點,此時 $\mathbb{R}^n-S$也沒有邊界點,此時,$S$和$\mathbb{R}^n-S$都是既開又閉的.

定理2:兩個開集的并集是開集

證明:設$A$,$B$是開集，$x\in A\bigcup B$,那么$x$不是A的內點就是B的內點,所以總會是$A\bigcup B$的內點.

注1:實際上,無限個開集的并集也是開集.證明十分容易，可以直接由無限個集合的并的定義入手：設$p$是這無限個開集的并集$K$中的一點，則$p$屬于其中至少一個開集.設這個開集為$A$.則存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq A\subseteq K\Box$.

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定理3:兩個閉集的交集是閉集.

證明:以$\mathbb{R}^n$為全集，“兩個閉集的交集”的補集為“兩個開集的并集”.而我們知道兩個開集的并集是開集，所以兩個閉集的交集是閉集.

定理4:兩個開集的交集是開集.

注2:無限個開集的交集不一定是開集.實例：$(-1,2),(-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}),\cdots,(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}),\cdots$這無限個開集相交，是閉集$[0,1]$.

證明:兩個開集$S,K$的交集中的任意一點$p$，必定是其中每一個開集的內點.這意味著存在正實數$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$和$\delta_1,\cdots,\delta_n$使得
$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S.\mho_{\delta_1,\cdots,\delta_n}(p)\subseteq K.$則\\$\mho_{\min\{\varepsilon_1,\delta_1\},\cdots,\min\{\varepsilon_n,\delta_n\}}(p)\subseteq S\bigcap K$.所以$p$也是$S\bigcap K$的內點.

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定理5:兩個閉集的并集是閉集

證明:根據摩根律，以$\mathbb{R}^n$為全集，則“開集的交集”的補集是“閉集的并集”.因為開集的交集是開集，而開集的補集是閉集.

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注:上面的每句話都可以幾乎一字不變地推廣到一般的度量空間.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/23/3827732.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的$\mathbb{R}^n$中点集概念梳理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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