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? ? ? ? ? ?上一章我們簡單的介紹了布爾代數以及C語言的位運算，本次我們主要來看，二進制如何表示整數，這是很重要的一章，希望各位猿友莫要錯過。

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C語言中的整數類型及范圍

? ? ? ? ? ?我們依然以C語言為例，C語言當中提供了多種整數類型，一共十種，位數為1、2、4、8，其中32位機器上，4位的有兩種，在64位機器上，8位的有兩種。具體的LZ這里就不多做介紹了。以下是32位和64位系統上，這十種整數的范圍。

? ? ? ? ? ? 上述是C語言中各個整數類型的表示范圍，不過C語言有它的最小數值范圍，也就是說C語言要求這些數據類型至少要滿足一個標準的范圍。下圖是C語言對整數類型要求的最小表示范圍。

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? ? ? ? ? ? 仔細看的話，可以發現，C語言只要求有符號數的范圍是對稱的，另外就是int和long類型的位數要求都比較低，分別是2位和4位。

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無符號編碼

? ? ? ? ? ? 可以看到以上的表中，每一種整數類型都可以加unsigned關鍵字，來表示一個無符號數，即沒有正負之分。在書中，給出了無符號數的定義，LZ將它簡化一下，對于一個w位的二進制來說，它的無符號表示為以下形式。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????

? ? ? ? ? ? ?對于一個無符號編碼來說，它的最大值和最小值很好確定，對于一個w位的二進制序列來說，當所有位都為0時，則為最小值，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? UMin_w = 0

? ? ? ? ? ? ?而當所有位都為1時，則為最大值，根據等比數列的求和公式，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? UMax_w = 1 * (1-2^w) / 1 - 2 = 2^w - 1?

? ? ? ? ? ? ?如果把上述的定義看成是一個函數的話，那么這個函數就是一個雙射。也就是說，對于任意整數x，當0 =< x < 2^w的時候，存在唯一的二進制序列與其對應。反過來也是一樣的，對于任意一個w位的二進制序列，都存在唯一一個整數x滿足0 =< x < 2^w，與這個二進制序列對應。

? ? ? ? ? ? ?無符號編碼屬于相對較簡單的格式，因為它符合我們的慣性思維，上述定義其實就是對二進制轉化為十進制的公式而已，只不過在一向嚴格的數學領域來說，是要給予明確的含義的。

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補碼編碼

? ? ? ? ? ? ?無符號編碼符合人的慣性思維是沒錯，但是可惜的是，它無法表示負整數。因此我們需要一種能夠表示負數的整數表示方式，這就是補碼編碼。與無符號編碼一樣，書中依然給出了補碼編碼的定義，即對于任意一個w位的二進制來說，它的補碼表示為以下形式。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?這里最高位x_w-1為符號位，當它為1時，該公式得到的值為負數，當為0時，得到的則為正數。

? ? ? ? ? ? ?我們觀察這個公式，不難看出，補碼格式下，對于一個w位的二進制序列來說，當最高位為1，其余位全為0時，得到的就是補碼格式的最小值，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TMin_w = -2^w-1?

? ? ? ? ? ? ?而當最高位為0，其余位全為1時，得到的就是補碼格式的最大值，根據等比數列的求和公式，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TMax_w = 1 * (1 - 2^w-1) / 1 - 2 = 2^w-1-1

? ? ? ? ? ? ?與無符號編碼一樣，如果把上述的定義看成是一個函數的話，那么這個函數同樣是一個雙射。也就是說，對于任意整數x，當-2^w-1 =< x < 2^w-1的時候，存在唯一的二進制序列與其對應。反過來，對于任意一個w位的二進制序列，都存在唯一一個整數x滿足-2^w-1?=< x <?2^w-1，與這個二進制序列對應。

? ? ? ? ? ? ?相對于無符號編碼來說，補碼編碼與我們的慣性思維有些不同，因此直觀的理解起來會有些別扭，不過作為一個程序猿，我們應該有一顆半機器的腦子，盡量去適應機器的習慣。

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兩種編碼的轉換

? ? ? ? ? ? ?在C語言當中，我們經常會使用強制類型轉換，而在之前的章節中，LZ也提到過強制類型轉換。強制類型轉換不會改變二進制序列，但是會改變數據類型的大小以及解釋方式，那么考慮相同整數類型的無符號編碼和補碼編碼，數據類型的大小是沒有任何變化的，變化的就是它們的解釋方式。比如1000這個二進制序列，如果用無符號編碼解釋的話就是表示8，而若采用補碼編碼解釋的話，則是表示-8。

? ? ? ? ? ? ?考慮到上面我們已經說過，無論是無符號編碼還是補碼編碼，其映射方式都是雙射，因此它們都一定存在逆映射。如果我們定義U2B_w(x)為B2U_w(x)的逆映射，則對于任意一個整數x，如果0 =< x < 2^w，經過U2B_w(x)的計算之后，將得到唯一一個二進制序列。同樣的，如果我們定義T2B_w(x)為B2T_w(x)的逆映射，則對于任意一個整數x，如果-2^w-1?=< x <?2^w-1，經過T2B_w(x)的計算之后，也將得到唯一一個二進制序列。

? ? ? ? ? ? ?可以很明顯的看出，對于0到2^w-1-1這個區間內的整數來說，兩種編碼得到的二進制序列是一樣的。為了得到其它區間里的整數的映射關系，我們定義

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? T2U_w(x)?= B2U_w(T2B_w(x))

? ? ? ? ? ? ?這個函數代表的含義是補碼編碼轉換為無符號編碼的時候，先將補碼編碼轉換為二進制序列，再將二進制序列轉換為無符號編碼，最終也就是補碼編碼轉為無符號編碼的計算。

? ? ? ? ? ? ?下面我們簡單的推算一下上面的定義，究竟是如何轉換的，也就是無符號編碼與補碼編碼的關系。我們將上面無符號編碼和補碼編碼的公式相減，

? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B2U_w(x) - B2T_w(x) = x_w-12^w-1 - (-x_w-12^w-1) = x_w-12^w?

? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B2U_w(x) =?x_w-12^w + B2T_w(x)

? ? ? ? ? ? ?此處我們令x為T2B_w(x)，則 ? ? ? ? ?B2U_w(T2B_w(x)) =?x_w-12^w + B2T_w(T2B_w(x)) =?x_w-12^w + x

? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?T2U_w(x) =?x_w-12^w + x

? ? ? ? ? ? ?此時考慮x_w-1的情況，當x_w-1為1時，也就是補碼編碼表示負數的時候，T2U_w(x)則為2^w + x 。（LZ小提示：此時x為負數，也就是說2^w + x < 2^w）

? ? ? ? ? ? ?若x_w-1為0時，則補碼編碼為正數，此時T2U_w(x) = x 。

? ? ? ? ? ? ?綜上可知，有下列式子成立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ?從這個式子中可以很明顯的看出，最終得到的無符號數范圍為0 =< x < 2^w。

? ? ? ? ? ? ?下圖為表示補碼編碼與無符號編碼的對應關系，可以看出在0至2^w-1-1之間，兩者是相等的，而其余區間則不同。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?相反，我們用同樣的方式也可以證明從無符號編碼到補碼編碼的公式，這一部分書中省略了，LZ這里還是寫上來，以免有的猿友不知所云。我們依然將無符號編碼和補碼編碼的公式相減

? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B2U_w(u)?- B2T_w(u)?= u_w-12^w-1?- (-u_w-12^w-1) = u_w-12^w?

? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B2T_w(u)?=?B2U_w(u) -?u_w-12^w

? ? ? ? ? ? ?此時我們令u為U2B_w(u)，則 ? ?B2T_w(U2B_w(u))?=?B2U_w(U2B_w(u)) -?u_w-12^w = u -?u_w-12^w

? ? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? U2T_w(u) =?u -?u_w-12^w

? ? ? ? ? ? ?此時考慮u_w-1的情況，當u_w-1為0時，也就是無符號編碼數值小于2^w-1的時候，U2T_w(u)則為u 。

? ? ? ? ? ? ?若u_w-1為1時，也就是無符號編碼數值大于或等于2^w-1的時候，此時U2T_w(u)= u - 2^w。（LZ小提示：此時U2T_w(u)為負數，因為?u < 2^w）

? ? ? ? ? ? ?綜上，我們可以得到無符號編碼轉換為補碼編碼的公式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?同樣的，在0至2^w-1-1之間，兩者依然是相等的，而其余區間則不同。

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小例子

? ? ? ? ? ? ?以上則是我們討論的有符號編碼與補碼編碼的內容，下面為了讓大家更好的理解上面的公式的含義，LZ帶大家寫一個小程序，我們來直觀的在兩者之間做一下強制轉換，看下得到的值是否滿足我們上面的結論。

? ? ? ? ? ? ?為了簡單起見，我們取w為8，也就是我們只采用char類型作為例子，否則位數太高的話，算起來比較麻煩。LZ本次采用32位WIN7系統下，VS2010作為例子的編譯環境。

#include <stdio.h>int main(){char t = 0xFF;unsigned char u = 0xFF;printf("t=%d u=%u\n",t,u);printf("t2u=%u u2t=%d\n",(unsigned char)t,(char)u); }

? ? ? ? ? ? ?我們給了兩個同樣的二進制序列0xFF，都是8個1，我們分別用補碼編碼和無符號編碼去解釋它們，并在后面使用強制轉換在補碼編碼和無符號編碼之間互相轉換，得到以下結果。

t=-1 u=255 t2u=255 u2t=-1

? ? ? ? ? ? ?這里LZ就不再寫計算的過程了，這個計算并不難。各位猿友可以自己套用上面的（2.6）和（2.8）公式去計算，看看是否符合公式的規定。

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本章小結

? ? ? ? ? ? ?本章主要介紹了二進制表示整數時采用的無符號編碼以及補碼編碼，也算是至今為止最難的一章了，因為攙和到了證明，盡管這是很簡單的證明。

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版權聲明

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作者：zuoxiaolong（左瀟龍）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的深入理解计算机系统（2.3）---整数的表示方式精解无符号与补码编码（重要）...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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