投針實(shí)驗(yàn)可以用來計(jì)算圓周率，這里面的數(shù)學(xué)證明方法可能大家沒有深究過。

投針問題的由來

1777年法國(guó)科學(xué)家布豐提出的一種計(jì)算圓周率的方法——隨機(jī)投針法，即著名的蒲豐投針問題。
這一方法的步驟是：
　　1) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線。
　　2) 取一根長(zhǎng)度為l（l<d） 的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m
　　3）計(jì)算針與直線相交的概率．
布豐本人證明了，這個(gè)概率是：

p=2*l/(π*d)
π為圓周率。

投針實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)證明

投針這個(gè)動(dòng)作是由兩個(gè)事件構(gòu)成的。

事件1：針投下后與平行線構(gòu)成一定的夾角。

我們來分析一下針投下后與平行線之間的成某一特定夾角時(shí)的概率。

設(shè)針投下后與平行線之間的夾角為θ，則θ在0與π之間。針與平行線之間的夾角在θ到θ+Δθ之間的概率為p1=Δθ/π，當(dāng)Δθ趨近于0時(shí)，p1可看作針投下后與平行線之間成某一特定夾角為θ的概率。

事件2：針投下后會(huì)在平行線垂直的方向形成一個(gè)投影，針與平行線相交等于它的垂直投影與平行線相交。這個(gè)投影的長(zhǎng)度l’在0到l之間。

此時(shí)針在水平方向的投影為l’=l*sinθ。再分析l’與平行線相交的概率。等于我們將問題轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)度為l’的針，并且只允許它處在與平行線垂直的方向上，這時(shí)它與平行線相交的概率顯然為：

p2=l’/d=l*sinθ/d

因?yàn)槊恳淮瓮稊S都是由上述兩個(gè)事件組成的，因而對(duì)于針與平行線之間的夾角在θ到θ+Δθ之間時(shí)，針與平行線相交的概率為這兩個(gè)事件概率的乘積，即：

p(θ)=p1*p2

因?yàn)獒樑c平行線之間構(gòu)成的夾角在0－π之間每個(gè)角度的機(jī)會(huì)都是均等的，因此針與平行線相交的概率相當(dāng)于針落在每個(gè)θ附近范圍Δθ內(nèi)，當(dāng)Δθ趨近于0時(shí)與平行線相交的所有概率之和。這個(gè)概率可用下列定積分表示，并可求出這個(gè)定積分的值為：

可以用計(jì)算機(jī)模擬這個(gè)蒙特卡洛仿真，從而得到π。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡洛思想之布丰投针实验的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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