投針實驗可以用來計算圓周率，這里面的數學證明方法可能大家沒有深究過。

投針問題的由來

1777年法國科學家布豐提出的一種計算圓周率的方法——隨機投針法，即著名的蒲豐投針問題。
這一方法的步驟是：
　　1) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線。
　　2) 取一根長度為l（l<d） 的針，隨機地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數，記為m
　　3）計算針與直線相交的概率．
布豐本人證明了，這個概率是：

p=2*l/(π*d)
π為圓周率。

投針實驗的數學證明

投針這個動作是由兩個事件構成的。

事件1：針投下后與平行線構成一定的夾角。

我們來分析一下針投下后與平行線之間的成某一特定夾角時的概率。

設針投下后與平行線之間的夾角為θ，則θ在0與π之間。針與平行線之間的夾角在θ到θ+Δθ之間的概率為p1=Δθ/π，當Δθ趨近于0時，p1可看作針投下后與平行線之間成某一特定夾角為θ的概率。

事件2：針投下后會在平行線垂直的方向形成一個投影，針與平行線相交等于它的垂直投影與平行線相交。這個投影的長度l’在0到l之間。

此時針在水平方向的投影為l’=l*sinθ。再分析l’與平行線相交的概率。等于我們將問題轉化成長度為l’的針，并且只允許它處在與平行線垂直的方向上，這時它與平行線相交的概率顯然為：

p2=l’/d=l*sinθ/d

因為每一次投擲都是由上述兩個事件組成的，因而對于針與平行線之間的夾角在θ到θ+Δθ之間時，針與平行線相交的概率為這兩個事件概率的乘積，即：

p(θ)=p1*p2

因為針與平行線之間構成的夾角在0－π之間每個角度的機會都是均等的，因此針與平行線相交的概率相當于針落在每個θ附近范圍Δθ內，當Δθ趨近于0時與平行線相交的所有概率之和。這個概率可用下列定積分表示，并可求出這個定積分的值為：

可以用計算機模擬這個蒙特卡洛仿真，從而得到π。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡洛思想之布丰投针实验的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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