圖像梯度

1.圖像的表達

這里我們討論2D圖像，一般圖像的存儲格式是一個二維矩陣，每個位置對應圖像的像素值，用數學描述

[z = I(x,y)
]

(x,y) 代表圖像坐標（某個點的坐標），(z) 代表此點的像素值（強度值），所以圖像可以看作一個二元的函數（離散的），將圖像在三維坐標中畫出來，如下圖所示，強度值的高低代表了曲面的高低。

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/lecture02.pdf

2. 圖像的梯度

既然可以將圖像看作是一個二元函數，那么自然想到考慮二元函數的梯度（一元函數是導數），因為圖像是離散的，所以和一般的連續函數還有些不同。離散的話，就要考慮數值方法求梯度。

2.1 數值微分

根據泰勒級數展開式

[f(x+h) = f(x)+hf'(x)+frac{1}{2}h^2f''(x)+frac{1}{3!}h^3f'''(x)+O(h^4)
]

[f(x+h)-f(x)=hf'(x)+frac{1}{2}h^2f''(x)+O(h^3)
]

[frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+O(h)
]

這就是有限向前差分，在圖像中，例如在x方向，對應的值就是(f(x+1,y)-f(x,y))

根據泰勒級數展開式

[f(x-h) = f(x)-hf'(x)+frac{1}{2}h^2f''(x)-frac{1}{3!}h^3f'''(x)+O(h^4)
]

[f(x)-f(x-h)=hf'(x)-frac{1}{2}h^2f''(x)+O(h^3)
]

[frac{f(x)-f(x-h)}{h}=f'(x)+O(h)
]

這就是有限向后差分，在圖像中，例如在x方向，對應的值就是(f(x,y)-f(x-1,y))

根據泰勒級數展開式

[f(x+h)-f(x-h) = f(x)+hf'(x)+frac{1}{2}h^2f''(x)+frac{1}{3!}h^3f'''(x)+O(h^4) -\
{f(x)-hf'(x)+frac{1}{2}h^2f''(x)-frac{1}{3!}h^3f'''(x)+O(h^4)}\
=2hf'(x)+frac{2}{3!}h^3f'''(x)+O(h^4)
]

[frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =f'(x)+O(h^2)
]

這就是有限中心差分，在圖像中，例如在x方向，對應的值就是(f(x+1,y)-f(x-1,y))，因為展開式后面跟的是h的2階無窮小，所以中心差分比向前、向后都要準確。

2.2 圖像中的梯度

向前，(frac{f(x+h)-f(x)}{h})，在圖像中(f(x+1,y)-f(x,y))
向后，(frac{f(x)-f(x-h)}{h})，在圖像中(f(x,y)-f(x-1,y))
中心，(frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h})，在圖像中(f(x+1,y)-f(x-1,y))

如下圖所示，x方向的梯度圖，可以看到水平方向的線條不明顯了，只留下了垂直方向的線條，這是因為x方向梯度的數值的大小代表水平方向強度值變換的大小，因為水平的線條可能都是一種強度，所以數值都差不多，所以都消失了，而在垂直方向變化比較大。y方向同理，可以看見水平方向的線條不明顯，垂直方向的線條明顯。

2.3 Matlab代碼

img = imread('img.jpg');
gray = double(rgb2gray(img));
wsize = size(gray,2);
hsize = size(gray,1);
%Normalize,因為差分可能求出負值，所以做一個歸于1化，將數值映射到[0,255]
h = Normalize(gray(:,3:wsize)-gray(:,1:wsize-2));%中心差分
v = Normalize(gray(3:hsize,:)-gray(1:hsize-2,:));%中心差分
hv = Normalize(sqrt(h(3:end,:).^2+v(:,3:end).^2)); %x,y方向合成

subplot(2,2,1);
imshow(uint8(gray));
title('灰度');

subplot(2,2,2);
imshow(uint8(hv));
title('xy方向合成');

subplot(2,2,3);
imshow(uint8(h));
title('x方向梯度');

subplot(2,2,4);
imshow(uint8(v));
title('y方向梯度');

function o = Normalize(img)
f = img(:)'; % 展開矩陣為一列，然后轉置為一行。
m = mapminmax(f, 0, 255); % 歸一化。
o = reshape(m, size(img)); % 還原為原始矩陣形式。此處不需轉置回去，因為reshape恰好是按列重新排序
end

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像梯度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。