Gamma分布即為多個(gè)獨(dú)立且相同分布（iid）的指數(shù)分布變量的和的分布。
（最新修改，希望能夠行文布局更有邏輯）

——————泊松過(guò)程——————
指數(shù)分布和泊松分布的關(guān)系十分密切，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中應(yīng)用極大的兩種分布。
其中泊松過(guò)程是一個(gè)顯著應(yīng)用。

泊松過(guò)程是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，通常用于模擬一個(gè)（非連續(xù)）事件在連續(xù)時(shí)間中發(fā)生的次數(shù)。
為一個(gè)泊松過(guò)程，則其滿足三個(gè)性質(zhì)：
①（t=0時(shí)什么都沒(méi)發(fā)生）

②（增量）之間互相獨(dú)立：
擴(kuò)展補(bǔ)充：與互相獨(dú)立，且在計(jì)數(shù)過(guò)程中


這是因?yàn)?br />

③
即
根據(jù)增量獨(dú)立性，易知其成立。

——————泊松→指數(shù)——————
假設(shè)為第次事件與第次事件的間隔時(shí)間。

所以

所以

即泊松過(guò)程的事件間隔時(shí)間為指數(shù)分布。

——————指數(shù)→Gamma—————
再令，即從頭開(kāi)始到第次事件的發(fā)生的時(shí)間，該隨機(jī)變量分布即為Gamma分布。
即。
Gamma分布即為多個(gè)獨(dú)立且相同分布（iid）的指數(shù)分布變量的和的分布。

——————證明——————
假設(shè)且互相獨(dú)立

①M(fèi)oment Generating Function（MGF）：
MGF的定義為
則
其性質(zhì)為

下證：


則
為Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②數(shù)學(xué)歸納法：
已知
所以當(dāng)時(shí)成立。
假設(shè)時(shí)成立
當(dāng)時(shí)，

其中






為的pdf。證畢。

當(dāng)然，Gamma分布與Beta，Chi-square分布也有著十分緊密的聯(lián)系，不過(guò)在統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用中都不如與指數(shù)分布的聯(lián)系來(lái)得重要。

作者：T Yuan
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的怎么来理解伽玛（gamma）分布？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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