Gamma分布即為多個獨立且相同分布（iid）的指數分布變量的和的分布。
（最新修改，希望能夠行文布局更有邏輯）

——————泊松過程——————
指數分布和泊松分布的關系十分密切，是統計學中應用極大的兩種分布。
其中泊松過程是一個顯著應用。

泊松過程是一個計數過程，通常用于模擬一個（非連續）事件在連續時間中發生的次數。
為一個泊松過程，則其滿足三個性質：
①（t=0時什么都沒發生）

②（增量）之間互相獨立：
擴展補充：與互相獨立，且在計數過程中


這是因為

③
即
根據增量獨立性，易知其成立。

——————泊松→指數——————
假設為第次事件與第次事件的間隔時間。

所以

所以

即泊松過程的事件間隔時間為指數分布。

——————指數→Gamma—————
再令，即從頭開始到第次事件的發生的時間，該隨機變量分布即為Gamma分布。
即。
Gamma分布即為多個獨立且相同分布（iid）的指數分布變量的和的分布。

——————證明——————
假設且互相獨立

①Moment Generating Function（MGF）：
MGF的定義為
則
其性質為

下證：


則
為Gamma分布的MGF。
MGF:Moment-generating function

②數學歸納法：
已知
所以當時成立。
假設時成立
當時，

其中






為的pdf。證畢。

當然，Gamma分布與Beta，Chi-square分布也有著十分緊密的聯系，不過在統計學應用中都不如與指數分布的聯系來得重要。

作者：T Yuan
鏈接：https://www.zhihu.com/question/34866983/answer/60541847
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的怎么来理解伽玛（gamma）分布？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。