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根據卡方62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333366306537分布性質可得：

(均值用X* 表示,且可知X*=(∑Xi)/n)

Xi服從正態分布 N(μ,σ2)，則

(Xi-μ)/σ 服從標準正態分布 N(0,1)

根據卡方分布的定義可知：∑(Xi-μ)2/σ2服從Χ2(n)分布

X*服從正態分布 N(μ,σ2/n)，則

(X*-μ)/ (σ/n1/2) 服從標準正態分布 N(0,1)

∑(Xi-μ)2/σ2

=(1/σ2)∑[(Xi- X*)2+μ2- X*2-2XiX*+2Xiμ]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(1/σ2)∑(μ2-X*2+2XiX*-2Xiμ)

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(1/σ2)[n(μ-X*)(μ+X*)-2(μ-X*)∑Xi]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(n/σ2)(μ-X*)[(μ+X*)-2(∑Xi)/n]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(n/σ2)(μ-X*)2

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+[(X*-μ)/ (σ/n1/2)]2

擴展資料：

性質

(1)??分布在第一象限內，卡方值都是正值，呈正偏態(右偏態)，隨著參數??的增大，?

分布趨近于正態分布；卡方分布密度曲線下的面積都是1.

(2)??分布的均值與方差可以看出，隨著自由度??的增大，χ2分布向正無窮方向延伸(因為均值??越來越大)，分布曲線也越來越低闊(因為方差??越大)。

(3)不同的自由度決定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

(4) 若??互相獨立，則：??服從??分布，自由度為?；

(5)??分布的均數為自由度??，記為 E(??) =??。

(6)??分布的方差為2倍的自由度(??)，記為 D(??) =??。

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總結

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