陶哲轩实分析 习题6.3.3
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陶哲轩实分析 习题6.3.3
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大名鼎鼎的單調有界定理。
因為序列(an)?∞n=m(a_n) \! {\infty \atop n=m}(an?)n=m∞?是有界的，故存在上確界a=sup?(an)?∞n=ma = \sup (a_n) \! {\infty \atop n=m}a=sup(an?)n=m∞?;
對于任意的正實數ε>0\varepsilon > 0ε>0，由于a?ε<aa-\varepsilon < aa?ε<a，存在自然數NNN使得aN>a?εa_N>a-\varepsilonaN?>a?ε；
而序列是遞增的，所以對于任意的n>Nn>Nn>N，都有
a?ε<aN<an<a+εa-\varepsilon<a_N<a_n<a+\varepsilona?ε<aN?<an?<a+ε，
?ε<an?a<ε-\varepsilon<a_n-a<\varepsilon?ε<an??a<ε，
∣an?a∣<ε|a_n-a|<\varepsilon∣an??a∣<ε，
這表明序列(an)?∞n=m(a_n) \! {\infty \atop n=m}(an?)n=m∞?是終極ε?\varepsilon-ε?接近于aaa的，故序列(an)?∞n=m(a_n) \! {\infty \atop n=m}(an?)n=m∞?收斂到sup?(an)?∞n=m\sup (a_n) \! {\infty \atop n=m}sup(an?)n=m∞?。
總結
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