陶哲轩实分析 3.4 补充
前段時間太忙，一直沒有更新。今天有點空閑，再更新兩道題。
陶哲軒實分析 3.4.10 和 3.4.11
3.4.10
(1)
?x∈(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)\forall x \in (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha) \cup (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha)?x∈(∪α∈I?Aα?)∪(∪α∈J?Aα?) 有 x∈(∪α∈IAα)x \in (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha)x∈(∪α∈I?Aα?) 或者 x∈(∪α∈JAα)x \in (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha)x∈(∪α∈J?Aα?)
分兩種情況討論：
當(dāng) x∈(∪α∈IAα)x \in (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha)x∈(∪α∈I?Aα?) 時，x∈(∪α∈I∪JAα)x \in (\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha)x∈(∪α∈I∪J?Aα?)
當(dāng) x∈(∪α∈JAα)x \in (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha)x∈(∪α∈J?Aα?) 時，x∈(∪α∈I∪JAα)x \in (\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha)x∈(∪α∈I∪J?Aα?)
所以
(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)?(∪α∈I∪JAα)(\cup_{\alpha \in I} A_\alpha) \cup (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha) \subseteq (\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha) (∪α∈I?Aα?)∪(∪α∈J?Aα?)?(∪α∈I∪J?Aα?)
?x∈(∪α∈I∪JAα)\forall x \in (\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha)?x∈(∪α∈I∪J?Aα?) 有 x∈(∪α∈IAα)x \in (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha)x∈(∪α∈I?Aα?) 或 x∈(∪α∈JAα)x \in (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha)x∈(∪α∈J?Aα?)
所以 ?x∈(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)\forall x \in (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha) \cup (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha)?x∈(∪α∈I?Aα?)∪(∪α∈J?Aα?)
所以
(∪α∈I∪JAα)?(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)(\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha) \subseteq (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha) \cup (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha) (∪α∈I∪J?Aα?)?(∪α∈I?Aα?)∪(∪α∈J?Aα?)
所以
(∪α∈I∪JAα)=(∪α∈IAα)∪(∪α∈JAα)(\cup_{\alpha \in I \cup J} A_\alpha) = (\cup_{\alpha \in I} A_\alpha) \cup (\cup_{\alpha \in J} A_\alpha) (∪α∈I∪J?Aα?)=(∪α∈I?Aα?)∪(∪α∈J?Aα?)
(2) ?x∈(∩α∈IAα)∩(∩α∈JAα)\forall x \in ( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha) \cap ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha)?x∈(∩α∈I?Aα?)∩(∩α∈J?Aα?)
表明：
x∈∩α∈IAαx \in \cap_{\alpha \in I }A_\alphax∈∩α∈I?Aα? 同時 x∈∩α∈JAαx \in \cap_{\alpha \in J }A_\alphax∈∩α∈J?Aα?
表明：
?α∈I,x∈Aα\forall \alpha \in I , x \in A_\alpha?α∈I,x∈Aα? ，同時 ?α∈J,x∈Aα\forall \alpha \in J , x \in A_\alpha?α∈J,x∈Aα?
所以 ?α∈I∪J,x∈Aα\forall \alpha \in I \cup J , x \in A_\alpha?α∈I∪J,x∈Aα?
所以 ?x∈(∩α∈I∪JAα)\forall x \in ( \cap_{\alpha \in I \cup J }A_\alpha)?x∈(∩α∈I∪J?Aα?)
所以 (∩α∈IAα)∩(∩α∈JAα)?(∩α∈I∪JAα)( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha) \cap ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha) \subseteq ( \cap_{\alpha \in I \cup J }A_\alpha)(∩α∈I?Aα?)∩(∩α∈J?Aα?)?(∩α∈I∪J?Aα?)
?x∈∩α∈I∪JAα\forall x \in \cap_{\alpha \in I \cup J }A_\alpha?x∈∩α∈I∪J?Aα?
表明：?α∈I∪J,x∈Aα\forall \alpha \in I \cup J, x \in A_\alpha?α∈I∪J,x∈Aα?
所以：
?α∈I,x∈Aα\forall \alpha \in I, x \in A_\alpha?α∈I,x∈Aα? 同時 ?α∈J,x∈Aα\forall \alpha \in J, x \in A_\alpha?α∈J,x∈Aα?
所以 x∈(∩α∈IAα)x \in ( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha)x∈(∩α∈I?Aα?) 同時 x∈(∩α∈JAα)x \in ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha)x∈(∩α∈J?Aα?)
所以 x∈(∩α∈IAα)∩(∩α∈JAα)x \in ( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha) \cap ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha)x∈(∩α∈I?Aα?)∩(∩α∈J?Aα?)
所以：(∩α∈I∪JAα)?(∩α∈IAα)∩(∩α∈JAα)( \cap_{\alpha \in I \cup J }A_\alpha)\subseteq ( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha) \cap ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha)(∩α∈I∪J?Aα?)?(∩α∈I?Aα?)∩(∩α∈J?Aα?)
所以 (∩α∈IAα)∩(∩α∈JAα)=(∩α∈I∪JAα)( \cap_{\alpha \in I }A_\alpha) \cap ( \cap_{\alpha \in J }A_\alpha) = ( \cap_{\alpha \in I \cup J }A_\alpha)(∩α∈I?Aα?)∩(∩α∈J?Aα?)=(∩α∈I∪J?Aα?)
3.4.11
設(shè) X 是一個集合，I 是一個不空的集合，并且對于每個 α∈I\alpha \in Iα∈I， AαA_\alphaAα? 是 XXX 的一個子集。證明
X\∪α∈IAα=∩α∈I(X\Aα)X\∩α∈IAα=∪α∈I(X\Aα)X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alpha = \cap_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha)\\ X \backslash \cap_{\alpha \in I} A_\alpha = \cup_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha)X\∪α∈I?Aα?=∩α∈I?(X\Aα?)X\∩α∈I?Aα?=∪α∈I?(X\Aα?)
（1） ?x∈X\∪α∈IAα\forall x \in X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alpha?x∈X\∪α∈I?Aα? 有 x∈Xx \in Xx∈X 同時 ?α∈I,x?Aα\forall \alpha \in I, x \notin A_\alpha?α∈I,x∈/?Aα?
所以：?α∈I,x∈X\Aα\forall \alpha \in I, x \in X \backslash A_\alpha?α∈I,x∈X\Aα?
所以：x∈∩α∈IX\Aαx \in \cap_{\alpha \in I} X \backslash A_\alphax∈∩α∈I?X\Aα?
所以：
X\∪α∈IAα?∩α∈I(X\Aα)X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alpha \subseteq \cap_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) X\∪α∈I?Aα??∩α∈I?(X\Aα?)
?x∈∩α∈I(X\Aα)\forall x \in \cap_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha)?x∈∩α∈I?(X\Aα?)
有： ?α∈I,x∈X\Aα\forall \alpha \in I, x \in X \backslash A_\alpha?α∈I,x∈X\Aα?
所以：x∈Xx \in Xx∈X 和 $ \forall \alpha \in I , x \notin A_\alpha$
所以 x?∪α∈IAαx \notin \cup_{\alpha \in I} A_\alphax∈/?∪α∈I?Aα?
所以 x∈X\∪α∈IAαx \in X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alphax∈X\∪α∈I?Aα?
所以
∩α∈I(X\Aα)?X\∪α∈IAα\cap_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) \subseteq X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alpha ∩α∈I?(X\Aα?)?X\∪α∈I?Aα?
所以：
∩α∈I(X\Aα)=X\∪α∈IAα\cap_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) = X \backslash \cup_{\alpha \in I} A_\alpha ∩α∈I?(X\Aα?)=X\∪α∈I?Aα?
（2） ?x∈X\∩α∈IAα\forall x \in X \backslash \cap_{\alpha \in I} A_\alpha?x∈X\∩α∈I?Aα?
有 x∈Xx \in Xx∈X 同時 x?∩α∈IAαx \notin \cap_{\alpha \in I} A_\alphax∈/?∩α∈I?Aα?
所以 ?β∈I,x?Aβ\exists \beta \in I, x \notin A_\beta?β∈I,x∈/?Aβ?
所以 x∈X\Aβx \in X \backslash A_\betax∈X\Aβ?
所以 x∈∪α∈IX\Aαx \in \cup_{\alpha \in I} X \backslash A_\alphax∈∪α∈I?X\Aα?
所以
X\∩α∈IAα?∪α∈I(X\Aα)X \backslash \cap_{\alpha \in I} A_\alpha \subseteq \cup_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) X\∩α∈I?Aα??∪α∈I?(X\Aα?)
?x∈∪α∈I(X\Aα)\forall x \in \cup_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha)?x∈∪α∈I?(X\Aα?)
所以 ?β∈I,x∈X\Aβ\exists \beta \in I , x \in X \backslash A_\beta?β∈I,x∈X\Aβ?
所以 x∈X,x?Aβx \in X, x \notin A_\betax∈X,x∈/?Aβ?
所以 x?∩α∈IAαx \notin \cap_{\alpha \in I} A_\alphax∈/?∩α∈I?Aα?
所以 x∈X\∩α∈IAαx \in X \backslash \cap_{\alpha \in I } A_\alphax∈X\∩α∈I?Aα?
所以
∪α∈I(X\Aα)?X\∩α∈IAα\cup_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) \subseteq X \backslash \cap_{\alpha \in I} A_\alpha ∪α∈I?(X\Aα?)?X\∩α∈I?Aα?
所以
∪α∈I(X\Aα)=X\∩α∈IAα\cup_{\alpha \in I} (X \backslash A_\alpha) = X \backslash \cap_{\alpha \in I} A_\alpha ∪α∈I?(X\Aα?)=X\∩α∈I?Aα?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 3.4 补充的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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