假設不存在這樣的整數，即對于一切$L<m?K$都有$\frac{m}{n}、\frac{m?1}{n}$同時為$E$的上界或同時不為$E$的上界。
設性質$P(i)$定義為：$\frac{i}{n}$不是$E$的上界。
下面使用歸納法證明$P(K)$成立，從而產生矛盾。
令$m_0=L+1$，

• 由于$\frac{L+1}{n}$與$\frac{L}{n}$對于$E$有相同的上界性，故$P(m_0)$成立。
• 對于每個整數$b>m_0$，如果滿足$m_0?i<b$的整數$i$都有$P(i)$成立，那么對于$P(b)$來說，因為$P(b?1)$成立，即$\frac{b?1}{n}$不是$E$的上界，故$\frac{b}{n}$也不是$E$的上界，$P(b)$成立。

根據歸納假設我們證明了對于一切$L+1?m$，都有$P(m)$成立。
結合限定條件：$L<m?K$得到：
對于一切$L<m?K$，$P(m)$成立，$P(K)$當然也成立。

總結

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