陶哲軒實(shí)分析 5.2 節(jié)習(xí)題試解

5.2.1

設(shè) (an)∞n=0 是個(gè) Cauchy 序列，(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 等價(jià)的序列，證明 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

證明：

因?yàn)?(an)∞n=0 是個(gè) Cauchy 序列。所以對于任意的 ε>0，都存在一個(gè) N≥0， 當(dāng)i,j≥N 時(shí)，滿足 |ai?aj|<ε/3。

因?yàn)?(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 等價(jià)的序列。所以對于任意的 ε>0，都存在一個(gè) N′≥0 ，當(dāng) n≥N′ 時(shí)滿足 |an?bn|<ε/3。

對于任意的 ε>0，設(shè) M=max(N,N′)。則，當(dāng)i,j≥N′ 時(shí)，有：

|bi?bj|≤≤≤=|bi?ai+aj?bj+ai?aj||bi?ai|+|aj?bj|+|ai?aj|ε/3+ε/3+ε/3ε

所以 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

5.2.2

設(shè) (an)∞n=0 是個(gè)有界序列，(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 終極 ε- 接近的，證明 (bn)∞n=0 也是有界序列。

證明：
(an)∞n=0 是個(gè)有界序列。那么存在一個(gè) M≥0，對任意的 i≥0，滿足 |ai|<M。
因?yàn)?(bn)∞n=0 是與 (an)∞n=0 終極 ε- 接近的。
所以存在一個(gè) N≥0，當(dāng) n≥N 時(shí)，有 |an?bn|<ε。
所以當(dāng) n≥N 時(shí)，有 |bn|≤|an|+ε≤M+ε

(bn)N?1n=0 是個(gè)有限長度序列，必然是有界的，也就是說存在一個(gè) M′，滿足：
當(dāng) n<N 時(shí)，|bn|≤M′。

取 M′′=max(M,M′)。則對任意的 bn 都有 |bn|≤M′′。
所以 (bn)∞n=0 是個(gè)有界序列。

總結(jié)

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