? ? ? ? 這里我們主要討論機器人操作空間的姿態規劃方法。機器人末端執行器的指向，由（時變的）末端執行器坐標系相對基坐標系的旋轉矩陣指定。旋轉矩陣的3列表示末端執行器坐標系相對基坐標系的3個單位向量。

? ? ? ?常見的姿態規劃方式包括歐拉角和角軸兩種。

I. 歐拉角

? ? ? ?歐拉角是最為常見的也最簡單的一種姿態規劃方式，通過為歐拉角指定時間律來描述指向。末端執行器的歐拉角三元組由旋轉、俯仰、偏擺組成：Φe?=（φ,? ?, ψ?）。通常，Φe?沿連接其初始值Φi?到其最終值Φf?的分段移動。通常選用三次多項式或混合拋物線線性分段時間律是方便的，通過這種方式，時變坐標系的角速度將具有連續量。

示例：五次多項式時間律的位置、速度、加速度曲線，

? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

II. 角和軸

? ? ? ? 給定兩個在笛卡爾空間具有相同原點和不同指向的坐標系，總可以確定一個單位向量，使得可以通過第一個坐標系繞單位向量的軸，旋轉1個合適的角度，得到第二個坐標系。

1. 基于角軸的姿態規劃

? ? ? ?對于定義在操作空間的誤差變量（位置和方向）進行處理，其表達式由下式給出：

? ? ? ?其中， 表示末端執行器的期望值， 表示末端執行器的計算值。

? ? ? ?對于涉及到方向誤差的部分，其表達式取決于末端執行器方向的詳細表示，即，歐拉角，角和軸，單位四元數。

? ? ? ?對于初始旋轉矩陣 和目標旋轉矩陣 ，有：

? ? ? ?所以有，

? ? ? ?對于旋轉變換 ，可以表示為繞空間中一固定軸的旋轉矩陣。計算軸的單位向量 和旋轉角 ，可以求得初始旋轉矩陣繞該軸的角速度和角加速度。

? ? ? ?其中，軸的單位向量 ：

? ? ? ?

:

?

? ? ? ?為 指定一個時間律，當 ，且有 。 為常量，由此得到的速度和加速度為：

最后，為了表征末端執行器關于基坐標系的指向軌跡，需要進行如下變化：

? ? ? 由此我們可以獲取機械臂的姿態關節的運動速度，再通過雅可比逆解到各個關節。

? ? ? 但是以上基于角軸表達式的姿態規劃存在奇異問題，當θ= 0或θ= Π時，單位向量r是奇異的。

2.?基于四元數的姿態規劃

? ? ? ? 單位四元數對姿態的描述更加自然，另外還有效避免了歐拉角旋轉時奇異性的問題，且基于單位四元數的運動插補算法計算效率要比歐拉角和余弦矩陣高。

2.1 四元數與旋轉矩陣的相互轉換

對于旋轉矩陣R：

對于四元數Q：

Q = [q1,? q2,? q3,? q4?]

四元數轉旋轉矩陣：

旋轉矩陣轉四元數：

通過以上轉換關系我們可以實現四元數與旋轉矩陣的相互轉換。

2.2?基于四元數的姿態規劃

對于單位四元數Q = {η，ε }，有：

假定 ，則角度θ∈[-Π, Π]，相當于四元數可以描述所有的旋轉。相比于角軸表達式，沒有了奇異現象了。因此，我們采用單位四元數規劃姿態。

首先將旋轉矩陣的初始值 ，和目標值 ，轉換成單位四元數，得到：

初始四元數：

目標四元數

對于旋轉變換：

有四元數變換：

?

其中，S(·)為反對稱算子。

因此, 對于末端執行器姿態關節速度 有：

?再對該速度雅可比逆解即可得到各關節速度。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人操作空间轨迹规划 -- 姿态规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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