概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)——幾何分布的無記憶性證明

• • • • 什么是幾何分布
      • 幾何分布的無記憶性
      • 為什么稱其為無記憶性
      • 無記憶性的證明

什么是幾何分布

設(shè)一個(gè)試驗(yàn)成功的概率為p，獨(dú)立重復(fù)該實(shí)驗(yàn)直到第一次成功，到成功為止，進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，服從幾何分布。

幾何分布這個(gè)名字，得名于幾何級(jí)數(shù)。這個(gè)幾何級(jí)數(shù)，就是我們所熟悉的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，又稱為等比級(jí)數(shù)。等比數(shù)列又被稱為幾何數(shù)列，這是因?yàn)?#xff0c;除了首位兩項(xiàng)，每一項(xiàng)都是其前后兩項(xiàng)的幾何平均數(shù)。

幾何分布的無記憶性

若X服從參數(shù)為p的幾何分布，n，m為兩個(gè)正整數(shù)，則有

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>m)$$

上式即為幾何分布的無記憶性的公式。

為什么稱其為無記憶性

從幾何分布的定義出發(fā)，已經(jīng)進(jìn)行了n次試驗(yàn)沒有成功，再進(jìn)行m次試驗(yàn)，沒有成功的概率，與之前已知的信息(n次試驗(yàn)失敗)沒有關(guān)系。也就是說，并不會(huì)因?yàn)橹皀次試驗(yàn)的失敗，而會(huì)使第n+1次之后的試驗(yàn)成功率上升。

無記憶性的證明

通過數(shù)學(xué)的推導(dǎo)來進(jìn)行證明。

Step 1

設(shè)事件X>n+m為事件A，事件X>n為事件B。
那么由條件概率的公式

$$P(X>n+m|X>n)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}$$

(事件AB即A與B同時(shí)發(fā)生，由于A?B，則AB=A，所以P(AB)=P(A)=P(X>n+m))

Step 2

我們以P(X>m)為例。
因?yàn)閹缀畏植际且环N離散型分布，因此，我們可以把P(X>m)寫成下面這種形式

$$P(X>m)=\sum _{k=m+1}^{\infty }P(X=k)$$

由于

$$P(X=k)=q^{k?1}p$$

所以

$$P(X>m)=\sum _{k=m+1}^{\infty }P(X=k)=p\sum _{k=m+1}^{\infty }{q}^{k?1}=p(q^m+q^{m+1}+...)$$

由等比數(shù)列求和公式

$$原式=p\frac{q^m(1?q^{\infty })}{1?q}$$

因?yàn)閝<1，所以當(dāng)指數(shù)趨近于無窮

$$q^{\infty }=0$$

又因?yàn)?/p>

$$1?q=p$$

所以

$$原式=q^m$$

即

$$P(X>m)=q^m$$

同理可得P(X>n)，P(X>m+n)。

Step 3

由Step 1中得到的

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)$$

帶入Step 2中得到的結(jié)論

$$P(X>n+m)=q^{n+m}$$

$$P(X>n)=q^n$$

所以

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>n+m)/P(X>n)=\frac{q^{n+m}}{q^n}=q^m=P(X>m)$$

最后得到

$$P(X>n+m|X>n)=P(X>m)$$

由此，無記憶性的公式證明完成。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计——几何分布的无记忆性证明的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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