Modern Robotics機器人的構型空間

機器人的構型（configuration）是一個機器人所有點的位置。描述機器人構型的最小實數坐標的個數n是機器人的自由度的數目。這個n維空間包括著機器人所有可能的構型（configurations）稱為機器人的構型空間（configuration space，C-space）。機器人的構型可以由它的構型空間里的一個點描述。

機器人的自由度

機器人常見的關節如下圖所示

旋轉關節(revolute joint,R)，平移關節（prismatic joint,P），螺旋關節（Helical joint,H）都是只有一個自由度。關節也可以有多個自由度，例如圓柱關節(cylindrical joint ,C)有兩個自由度，萬向節（Universal joint,U）有兩個自由度，球形關節（spherical joint，S）有三個關節，其功能與人體的肩關節很像。

$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$公式

考察一個又$N$個連桿構成的機械系統，地面也看做一個連桿。假設$J$是關節的數量，$m$是剛體的自由度（對于平面剛體$m=3$，對于空間剛體$m=6$），$f_i$為第$i$個關節具有的自由度數目，$c_i$是第$i$個關節具有的約束數目，這里對所有$i$都有$f_i+c_i=m$。那么$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$計算機器人的自由度數目為
$$\begin{gathered} dof=m(N?1)?\sum _{i=1}^J{c}_i \\ =m(N?1)?\sum _{i=1}^J(m?f_i) \\ =m(N?1?J)+\sum _{i=1}^J{f}_i\text{\hspace{1em}(2.4)} \end{gathered}$$

這個公式成立的條件是所有的關節約束是獨立的。

下面是計算該公式的C語言模塊。

/** *@brief Description:使用GrublersFormula公式計算機構的自由度. *@param[in] N 連桿的數目（包括大地）. *@param[in] m 連桿(剛體)的自由度（平面剛體m=3,空間剛體m=6）. *@param[in] J 關節的數量. *@param[in] f 數組，每個關節的自由度. *@return 返回輸入該機構的自由度. *@note: 各個關節的約束是獨立的才能使用該函數計算機構的自由度. *@waring: */ int GrublersFormula(int m, int N, int J, int *f) {int i;int dof;int c = 0;for (i=1;i<=J;i++){//計算自由度的約束c = c + f[i-1];}dof = m*(N - 1 - J) + c;return dof; }

Example 2.4使用$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$公式計算下面的平面機構自由度

這些連桿是平面剛體，因此m=3

(a) $dof=3?(5?1?4)+4=4$

(b)$dof=3?(5?1?5)+5=2$

?$dof=3?(6?1?7)+7=1$

(d)$dof=3?(6?1?7)+7=1$

Example2.5 計算如下圖有重疊關節的平面機構自由度。

大連桿左端三個連桿連接于一點，可以各自轉動。關節的定義為兩個連桿的連接，因此這不能算作一個關節，而是兩個關節。因此自由度為
$$dof=3?(8?1?9)+9=3$$

構型空間拓撲

一個點在球面上運動，這個點的構型空間(C-space)是2維的，因為可以用兩個坐標表示，緯度和經度。一個點在平面上運動，具有一個2維構型空間(C-space)，有坐標(x,y)。一個平面和一個球面都是2維，但是它們的形狀不同，平面無限延伸，而球面互相連在一起。一個橢圓的美國足球與球面有類似的形狀，它們具有相等的拓撲。例如一條線段可以把它彎曲成一個開口的半圓，一個開口的半圓也可以直為一條線段，因此它們由相等的拓撲結構。不那么嚴格地，如果一個空間可以不進行粘合或剪切，通過連續變形得到另一個空間，我們說這兩個空間具有相等的拓撲。

圓數學上寫為$S$或$ S^1$，是1維“球”，直線寫為$\mathbb E$或$\mathbb E^1$，意味1維歐拉空間，因為一個點在$\mathbb E^1$上可以寫成一個實數，因此通常寫為$\mathbb R$或$\mathbb R^1$。

拓撲是空間的屬性，與我們選擇則怎樣的坐標來描述是無關的。例如一個圓，確定一個零角度后，可以選擇一個角度$\theta$來描述，也可以在圓心建立一個坐標系，用坐標(x,y)和約束$x^2+y^2=1$.無論選擇怎樣的坐標來描述，該空間沒有發生改變。

一些C-space可以表示成兩個或多個低維的笛卡爾積。例如一個平面剛體的C-space可以寫成${\mathbb{R}}^2\times S^1$,因為其構型可以用坐標(x,y)表示${\mathbb{R}}^2$，一個角度$\theta$表示$S^1$,這兩個坐標串在一起表示剛體構型。

構型空間表示

如下圖是四個拓撲不同的二維C-space及表示

選擇$n$個坐標或參數表示一個$n$維空間叫做空間的顯式參數化。

使用緯度和經度兩個坐標表示球面，在兩個極點會出現奇異。解決奇異的方法有：

• 使用多個坐標圖表示該空間。每個坐標圖只是空間一部分的顯式參數化，在每個坐標圖都沒有奇異性。多個坐標圖重疊覆蓋要表示的空間，當在某個坐標圖出現奇異時，切換到另一個坐標圖表示。
• 使用隱式表示而不是顯式參數化。一個隱式表示把$n$維空間看成是內含與大于n維的空間的歐拉空間。例如2維球面可以看成是包含于3維歐拉空間的一個面。一個隱式表示使用的坐標數高于該空間的維度，當需要約束冗余的自由度。例如使用$(x,y,z)$和一個約束$x^2+y^2+z^2=1$表示單位球面。

在機器人學里通常使用隱式表示，例如使用9個數值，6個約束，表示剛體在空間的3個方向自由度，該表示稱旋轉矩陣.

構型和速度約束

一般的機器人包含一個或多個閉環，構型空間可以通過一個列向量$\theta =[{\theta }_1,...,{\theta }_2{]}^T\in {\mathbb{R}}^2$和閉環方程隱式表示
$$g(\theta )=?\begin{array}{c}{g}_1({\theta }_1,...,{\theta }_n)\\ ?\\ g_k({\theta }_1,...,{\theta }_n)\end{array}?=0,\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
閉環方程是$k$個獨立的方程，$k\le n$.這樣的約束稱為完整約束（holomomic contraints）.C-space可以看成一個包含于${\mathbb{R}}^n$中的$n?k$維的面.

假設$\theta$是關于時間的軌跡，兩邊求導有
$$\frac{d}{dt}g(\theta (t))=0\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
因此
$$?\begin{array}{c}\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1+...+\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\\ ?\\ \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1+...+\frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\end{array}?=0$$
即
$$?\begin{array}{ccc}\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1& \dots & \frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\\ ?& ?& ?\\ \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1& \dots & \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\end{array}??\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ ?\\ {\dot{\theta }}_n\end{array}?=0$$
可以繼續寫成
$$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\dot{\theta }=0\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
這里$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\in {\mathbb{R}}^{k\times n}$，$\theta ,\dot{\theta }\in {\mathbb{R}}^n$,又可以寫成
$$A(\theta )\dot{\theta }=0\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
這里$A(\theta )\in {\mathbb{R}}^{k\times n}$.速度的這種約束形式稱為Pfaffian約束。$g(\theta )$可以由$A(\theta )$積分得到，因此完整約束$g(\theta )$又稱為積分約束–速度約束可以積分得到構型約束。對于不能通過速度約束積分得到構型約束的Pfaffian約束稱為非完整約束.

任務空間和工作空間

機器人的任務空間是機器人任務自然表達的一個空間（與機器人的構型空間無關）。機器人的工作空間是機器人末端能夠到達的構型。

小結

• 一個機器人由一系列關節連接的連桿構成。連桿通常建模為剛體。末端執行器，例如抓手常常會固定到機器人的連桿上。驅動器傳遞力或扭矩給關節，驅動機器人運動。
• 最常用的單自由度關節是旋轉關節，可以繞關節軸線轉動，以及平移關節，可以沿關節軸線平移。圓柱關節有兩個自由度，由一個旋轉關節和移動關節串聯組成，萬向節由兩個正交的旋轉關節組成，球形關節有三個自由度，其功能與人的肩關節相似。
• 一個剛體的構型其所有點的位置。在平面運動的剛體，需要3個獨立參數表示其構型。在空間運動的剛體需要6個參數表示其構型。
• 一個機器人的構型是其所有連桿的構型。機器人的構型空間是其一系列所有可能的構型。機器人構型空間的維數是其自由度數目。
• 機器人自由度數目可以通過$Gr\ddot{u}ble{r}^{\prime }s$公式計算

$$\text{dof}=m(N?1?J)+\sum _{i=1}^J{f}_i$$

對于平面機構$m=3$，空間機構$m=6$，$N$是連桿的數目（包括地面連桿），$J$是關節數目，$f_i$是第$i$個關節的自由度數目。如果關節的約束不是相互獨立，$Gr\ddot{u}ble{r}^{\prime }s$提供的是自由度數目的一個下界。

• 機器人的C-space可以顯式參數化或隱式參數化。對于$n$個自由度的機器人，顯示參數化至少使用$n$個坐標，隱式表示則需要$m$個坐標，$m\ge n$，這$m$個坐標受$m?n$個約束方程約束。使用隱式表示，機器人的C-space可以看做是包含于高維數的$m$維空間的一個$n$維表面。
• $n$個自由度的機器人的C-space，結構的一個或多個閉環約束，可以隱式地使用$k$個閉環方程表示，其形如$g(\theta )=0$,$\theta \in {\mathbb{R}}^m$,且$g:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^k$。這樣的約束方程稱為完整約束。假設$\theta$隨時間$t$變化，完整約束$g(\theta (t))$對$t$微分得到

$$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\dot{\theta }=0,$$

這里$?g(\theta )/?\theta$是$k\times m$的矩陣。

• 機器人的運動可以通過速度約束的形式表示

$$A(\theta )\dot{\theta }=0,$$

這$A(\theta )$是$k\times m$矩陣，不能表示為某個函數$g(\theta )$的導數，即不存在a任何的$g(\theta ),g:{\mathbb{R}}^m\to R^k$,使得
$$A(\theta )=\frac{?g(\theta )}{?\theta }.$$
這樣的約束稱為非完整約束，或不可積約束。這些約束減少可行速度的維度，單數不會減少可達C-space的維度。在動量守恒或滾動而不滑動的機器人系統中會出現非完整約束。

• 機器人的任務空間是機器人任務自然表達的一個空間（與機器人的構型空間無關）。機器人的工作空間是機器人末端能夠到達的構型。

參考文獻

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Modern Robotics:机器人的构型空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。