Modern Robotics機(jī)器人的構(gòu)型空間

機(jī)器人的構(gòu)型（configuration）是一個(gè)機(jī)器人所有點(diǎn)的位置。描述機(jī)器人構(gòu)型的最小實(shí)數(shù)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)n是機(jī)器人的自由度的數(shù)目。這個(gè)n維空間包括著機(jī)器人所有可能的構(gòu)型（configurations）稱為機(jī)器人的構(gòu)型空間（configuration space，C-space）。機(jī)器人的構(gòu)型可以由它的構(gòu)型空間里的一個(gè)點(diǎn)描述。

機(jī)器人的自由度

機(jī)器人常見的關(guān)節(jié)如下圖所示

旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(revolute joint,R)，平移關(guān)節(jié)（prismatic joint,P），螺旋關(guān)節(jié)（Helical joint,H）都是只有一個(gè)自由度。關(guān)節(jié)也可以有多個(gè)自由度，例如圓柱關(guān)節(jié)(cylindrical joint ,C)有兩個(gè)自由度，萬向節(jié)（Universal joint,U）有兩個(gè)自由度，球形關(guān)節(jié)（spherical joint，S）有三個(gè)關(guān)節(jié)，其功能與人體的肩關(guān)節(jié)很像。

$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$公式

考察一個(gè)又$N$個(gè)連桿構(gòu)成的機(jī)械系統(tǒng)，地面也看做一個(gè)連桿。假設(shè)$J$是關(guān)節(jié)的數(shù)量，$m$是剛體的自由度（對(duì)于平面剛體$m=3$，對(duì)于空間剛體$m=6$），$f_i$為第$i$個(gè)關(guān)節(jié)具有的自由度數(shù)目，$c_i$是第$i$個(gè)關(guān)節(jié)具有的約束數(shù)目，這里對(duì)所有$i$都有$f_i+c_i=m$。那么$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$計(jì)算機(jī)器人的自由度數(shù)目為
$$\begin{gathered} dof=m(N?1)?\sum _{i=1}^J{c}_i \\ =m(N?1)?\sum _{i=1}^J(m?f_i) \\ =m(N?1?J)+\sum _{i=1}^J{f}_i\text{\hspace{1em}(2.4)} \end{gathered}$$

這個(gè)公式成立的條件是所有的關(guān)節(jié)約束是獨(dú)立的。

下面是計(jì)算該公式的C語言模塊。

/** *@brief Description:使用GrublersFormula公式計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度. *@param[in] N 連桿的數(shù)目（包括大地）. *@param[in] m 連桿(剛體)的自由度（平面剛體m=3,空間剛體m=6）. *@param[in] J 關(guān)節(jié)的數(shù)量. *@param[in] f 數(shù)組，每個(gè)關(guān)節(jié)的自由度. *@return 返回輸入該機(jī)構(gòu)的自由度. *@note: 各個(gè)關(guān)節(jié)的約束是獨(dú)立的才能使用該函數(shù)計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度. *@waring: */ int GrublersFormula(int m, int N, int J, int *f) {int i;int dof;int c = 0;for (i=1;i<=J;i++){//計(jì)算自由度的約束c = c + f[i-1];}dof = m*(N - 1 - J) + c;return dof; }

Example 2.4使用$Gr\ddot{\text{u}}ble{r}^{\prime }s$公式計(jì)算下面的平面機(jī)構(gòu)自由度

這些連桿是平面剛體，因此m=3

(a) $dof=3?(5?1?4)+4=4$

(b)$dof=3?(5?1?5)+5=2$

?$dof=3?(6?1?7)+7=1$

(d)$dof=3?(6?1?7)+7=1$

Example2.5 計(jì)算如下圖有重疊關(guān)節(jié)的平面機(jī)構(gòu)自由度。

大連桿左端三個(gè)連桿連接于一點(diǎn)，可以各自轉(zhuǎn)動(dòng)。關(guān)節(jié)的定義為兩個(gè)連桿的連接，因此這不能算作一個(gè)關(guān)節(jié)，而是兩個(gè)關(guān)節(jié)。因此自由度為
$$dof=3?(8?1?9)+9=3$$

構(gòu)型空間拓?fù)?/h2>

一個(gè)點(diǎn)在球面上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)的構(gòu)型空間(C-space)是2維的，因?yàn)榭梢杂脙蓚€(gè)坐標(biāo)表示，緯度和經(jīng)度。一個(gè)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，具有一個(gè)2維構(gòu)型空間(C-space)，有坐標(biāo)(x,y)。一個(gè)平面和一個(gè)球面都是2維，但是它們的形狀不同，平面無限延伸，而球面互相連在一起。一個(gè)橢圓的美國足球與球面有類似的形狀，它們具有相等的拓?fù)洹＠缫粭l線段可以把它彎曲成一個(gè)開口的半圓，一個(gè)開口的半圓也可以直為一條線段，因此它們由相等的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。不那么嚴(yán)格地，如果一個(gè)空間可以不進(jìn)行粘合或剪切，通過連續(xù)變形得到另一個(gè)空間，我們說這兩個(gè)空間具有相等的拓?fù)洹?/p>

圓數(shù)學(xué)上寫為$S$或$ S^1$，是1維“球”，直線寫為$\mathbb E$或$\mathbb E^1$，意味1維歐拉空間，因為一個(gè)點(diǎn)在$\mathbb E^1$上可以寫成一個(gè)實(shí)數(shù)，因此通常寫為$\mathbb R$或$\mathbb R^1$。

拓?fù)涫强臻g的屬性，與我們選擇則怎樣的坐標(biāo)來描述是無關(guān)的。例如一個(gè)圓，確定一個(gè)零角度后，可以選擇一個(gè)角度$\theta$來描述，也可以在圓心建立一個(gè)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)(x,y)和約束$x^2+y^2=1$.無論選擇怎樣的坐標(biāo)來描述，該空間沒有發(fā)生改變。

一些C-space可以表示成兩個(gè)或多個(gè)低維的笛卡爾積。例如一個(gè)平面剛體的C-space可以寫成${\mathbb{R}}^2\times S^1$,因?yàn)槠錁?gòu)型可以用坐標(biāo)(x,y)表示${\mathbb{R}}^2$，一個(gè)角度$\theta$表示$S^1$,這兩個(gè)坐標(biāo)串在一起表示剛體構(gòu)型。

構(gòu)型空間表示

如下圖是四個(gè)拓?fù)洳煌亩SC-space及表示

選擇$n$個(gè)坐標(biāo)或參數(shù)表示一個(gè)$n$維空間叫做空間的顯式參數(shù)化。

使用緯度和經(jīng)度兩個(gè)坐標(biāo)表示球面，在兩個(gè)極點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)奇異。解決奇異的方法有：

• 使用多個(gè)坐標(biāo)圖表示該空間。每個(gè)坐標(biāo)圖只是空間一部分的顯式參數(shù)化，在每個(gè)坐標(biāo)圖都沒有奇異性。多個(gè)坐標(biāo)圖重疊覆蓋要表示的空間，當(dāng)在某個(gè)坐標(biāo)圖出現(xiàn)奇異時(shí)，切換到另一個(gè)坐標(biāo)圖表示。
• 使用隱式表示而不是顯式參數(shù)化。一個(gè)隱式表示把$n$維空間看成是內(nèi)含與大于n維的空間的歐拉空間。例如2維球面可以看成是包含于3維歐拉空間的一個(gè)面。一個(gè)隱式表示使用的坐標(biāo)數(shù)高于該空間的維度，當(dāng)需要約束冗余的自由度。例如使用$(x,y,z)$和一個(gè)約束$x^2+y^2+z^2=1$表示單位球面。

在機(jī)器人學(xué)里通常使用隱式表示，例如使用9個(gè)數(shù)值，6個(gè)約束，表示剛體在空間的3個(gè)方向自由度，該表示稱旋轉(zhuǎn)矩陣.

構(gòu)型和速度約束

一般的機(jī)器人包含一個(gè)或多個(gè)閉環(huán)，構(gòu)型空間可以通過一個(gè)列向量$\theta =[{\theta }_1,...,{\theta }_2{]}^T\in {\mathbb{R}}^2$和閉環(huán)方程隱式表示
$$g(\theta )=?\begin{array}{c}{g}_1({\theta }_1,...,{\theta }_n)\\ ?\\ g_k({\theta }_1,...,{\theta }_n)\end{array}?=0,\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
閉環(huán)方程是$k$個(gè)獨(dú)立的方程，$k\le n$.這樣的約束稱為完整約束（holomomic contraints）.C-space可以看成一個(gè)包含于${\mathbb{R}}^n$中的$n?k$維的面.

假設(shè)$\theta$是關(guān)于時(shí)間的軌跡，兩邊求導(dǎo)有
$$\frac{d}{dt}g(\theta (t))=0\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
因此
$$?\begin{array}{c}\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1+...+\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\\ ?\\ \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1+...+\frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\end{array}?=0$$
即
$$?\begin{array}{ccc}\frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1& \dots & \frac{?g_1(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\\ ?& ?& ?\\ \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_1}{\dot{\theta }}_1& \dots & \frac{?g_k(\theta )}{?{\theta }_n}{\dot{\theta }}_n\end{array}??\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ ?\\ {\dot{\theta }}_n\end{array}?=0$$
可以繼續(xù)寫成
$$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\dot{\theta }=0\text{\hspace{1em}(2.7)}$$
這里$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\in {\mathbb{R}}^{k\times n}$，$\theta ,\dot{\theta }\in {\mathbb{R}}^n$,又可以寫成
$$A(\theta )\dot{\theta }=0\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
這里$A(\theta )\in {\mathbb{R}}^{k\times n}$.速度的這種約束形式稱為Pfaffian約束。$g(\theta )$可以由$A(\theta )$積分得到，因此完整約束$g(\theta )$又稱為積分約束–速度約束可以積分得到構(gòu)型約束。對(duì)于不能通過速度約束積分得到構(gòu)型約束的Pfaffian約束稱為非完整約束.

任務(wù)空間和工作空間

機(jī)器人的任務(wù)空間是機(jī)器人任務(wù)自然表達(dá)的一個(gè)空間（與機(jī)器人的構(gòu)型空間無關(guān)）。機(jī)器人的工作空間是機(jī)器人末端能夠到達(dá)的構(gòu)型。

小結(jié)

• 一個(gè)機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)連接的連桿構(gòu)成。連桿通常建模為剛體。末端執(zhí)行器，例如抓手常常會(huì)固定到機(jī)器人的連桿上。驅(qū)動(dòng)器傳遞力或扭矩給關(guān)節(jié)，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)。
• 最常用的單自由度關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，可以繞關(guān)節(jié)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，以及平移關(guān)節(jié)，可以沿關(guān)節(jié)軸線平移。圓柱關(guān)節(jié)有兩個(gè)自由度，由一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)組成，萬向節(jié)由兩個(gè)正交的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，球形關(guān)節(jié)有三個(gè)自由度，其功能與人的肩關(guān)節(jié)相似。
• 一個(gè)剛體的構(gòu)型其所有點(diǎn)的位置。在平面運(yùn)動(dòng)的剛體，需要3個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示其構(gòu)型。在空間運(yùn)動(dòng)的剛體需要6個(gè)參數(shù)表示其構(gòu)型。
• 一個(gè)機(jī)器人的構(gòu)型是其所有連桿的構(gòu)型。機(jī)器人的構(gòu)型空間是其一系列所有可能的構(gòu)型。機(jī)器人構(gòu)型空間的維數(shù)是其自由度數(shù)目。
• 機(jī)器人自由度數(shù)目可以通過$Gr\ddot{u}ble{r}^{\prime }s$公式計(jì)算

$$\text{dof}=m(N?1?J)+\sum _{i=1}^J{f}_i$$

對(duì)于平面機(jī)構(gòu)$m=3$，空間機(jī)構(gòu)$m=6$，$N$是連桿的數(shù)目（包括地面連桿），$J$是關(guān)節(jié)數(shù)目，$f_i$是第$i$個(gè)關(guān)節(jié)的自由度數(shù)目。如果關(guān)節(jié)的約束不是相互獨(dú)立，$Gr\ddot{u}ble{r}^{\prime }s$提供的是自由度數(shù)目的一個(gè)下界。

• 機(jī)器人的C-space可以顯式參數(shù)化或隱式參數(shù)化。對(duì)于$n$個(gè)自由度的機(jī)器人，顯示參數(shù)化至少使用$n$個(gè)坐標(biāo)，隱式表示則需要$m$個(gè)坐標(biāo)，$m\ge n$，這$m$個(gè)坐標(biāo)受$m?n$個(gè)約束方程約束。使用隱式表示，機(jī)器人的C-space可以看做是包含于高維數(shù)的$m$維空間的一個(gè)$n$維表面。
• $n$個(gè)自由度的機(jī)器人的C-space，結(jié)構(gòu)的一個(gè)或多個(gè)閉環(huán)約束，可以隱式地使用$k$個(gè)閉環(huán)方程表示，其形如$g(\theta )=0$,$\theta \in {\mathbb{R}}^m$,且$g:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^k$。這樣的約束方程稱為完整約束。假設(shè)$\theta$隨時(shí)間$t$變化，完整約束$g(\theta (t))$對(duì)$t$微分得到

$$\frac{?g(\theta )}{?\theta }\dot{\theta }=0,$$

這里$?g(\theta )/?\theta$是$k\times m$的矩陣。

• 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可以通過速度約束的形式表示

$$A(\theta )\dot{\theta }=0,$$

這$A(\theta )$是$k\times m$矩陣，不能表示為某個(gè)函數(shù)$g(\theta )$的導(dǎo)數(shù)，即不存在a任何的$g(\theta ),g:{\mathbb{R}}^m\to R^k$,使得
$$A(\theta )=\frac{?g(\theta )}{?\theta }.$$
這樣的約束稱為非完整約束，或不可積約束。這些約束減少可行速度的維度，單數(shù)不會(huì)減少可達(dá)C-space的維度。在動(dòng)量守恒或滾動(dòng)而不滑動(dòng)的機(jī)器人系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)非完整約束。

• 機(jī)器人的任務(wù)空間是機(jī)器人任務(wù)自然表達(dá)的一個(gè)空間（與機(jī)器人的構(gòu)型空間無關(guān)）。機(jī)器人的工作空間是機(jī)器人末端能夠到達(dá)的構(gòu)型。

參考文獻(xiàn)

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Modern Robotics:机器人的构型空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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